szukanie zaawansowane
 [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 19:54 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: warszawa
Cześć, nie mam pojęcia jak zabrać się za ten przykład. Jakieś wskazówki? :)

\lim_{ n \to  \infty  } n\ln \left( 1+ \frac{4}{n} \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 20:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Tak. Jest taka znana granica:
\lim_{t \to 0}  \frac{\ln(1+t)}{t} =1, może kojarzysz. Z definicji Heinego granicy funkcji wynika więc, że dla każdego ciągu a_n zbieżnego do 0, który ma niezerowe wyrazy, zachodzi \lim_{n \to  \infty }  \frac{\ln\left( 1+a_n\right) }{a_n} =1.
Ponadto mamy
n\ln \left( 1+\frac 4 n\right) =4\cdot  \frac{\ln\left( 1+\frac 4 n\right) }{ \frac{4}{n} }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: warszawa
Premislav, znam ten wzór i tak na początku zrobiłem i mi wyszło 4.

\lim_{ n\to  \infty } n \cdot  \frac{ \ln (1+ \frac{4}{n}) }{ \frac{4}{n} }  \cdot  \frac{4}{n} =  \lim_{ n\to \infty  }  \frac{\ln (1+ \frac{4}{n}) }{ \frac{4}{n} }   \cdot   \frac{4n}{n} = 1  \cdot  4=4

Tylko napisałem z tego względu, że we wzorze z tym logarytmem jest t czy tam x, które dąży do 0, a w zadaniu mam napisane, że do nieskończoności. I myślałem, że nie można użyć tego wzoru. Wiem tylko, że jak pokaże, że to co jest za limesem - czyli działanie jakieś - dąży do 0 to można użyć tego wzoru.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 21:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Można. Przyjrzyj się definicji Heinego granicy funkcji: https://pl.wikipedia.org/wiki/Granica_funkcji
Zatem, skoro \lim_{t \to 0}  \frac{\ln(1+t)}{t} =1 i ciąg (a_n)_{n \in \NN^+} określony przez a_n=\frac 4 n jest zbieżny do zera, to
\lim_{n \to  \infty } \frac{\ln(1+a_n)}{a_n}=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 21:38 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
A znasz może taką granicę \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 21:44 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: warszawa
Premislav, a co z tym n przed tym działaniem? ono dąży do nieskończoności?
a4karo, o ile się nie mylę, to jest ta granica co w wyniku daje "e"
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 21:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
:?: Nie rozumiem pytania. Przecież to się skraca.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: warszawa
Premislav, bo skoro \frac{4}{n} dąży do 0, to przy sprawdzeniu, n bedzie nieskonczonoscią i jak przemnożymy to wyjdzie \mbox{nieskończoność}  \cdot  1 czyli nieskończoność, no i wtedy myślałem, że tego wzoru nie można użyć, bo nie dąży działanie do zera. A tego wzoru można użyć w każdym przypadku np. x dąży do 5, x dązy do -2 itd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
1) Działanie nigdzie nie dąży.
2) Gdzie tu masz jakąś nieskończoność:
student1543 napisał(a):
\lim_{ n\to \infty } \frac{\ln (1+ \frac{4}{n}) }{ \frac{4}{n} }  \cdot  \frac{4n}{n}
?
Chyba po prostu źle spojrzałeś, n w liczniku skróci się z tym w mianowniku i masz
\lim_{n \to  \infty }  \frac{\ln \left( 1+\frac  4n\right) }{\frac 4 n} \cdot 4


Nie, ten wzór stosuje się tylko dla x \rightarrow 0.
Tj. \lim_{x \to 0}  \frac{\ln (1+x)}{x} =1
i dla każdego innego x_0 \in \RR mamy
\lim_{x \to x_0}  \frac{\ln (1+x)}{x} {\red \neq }1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:18 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: warszawa
Premislav, sorry, pomyliło mi się z granicą funkcji.

Czyli jakby było \lim_{ n\to \infty  } n\ln  \left( 1 + 4n \right) to już nie można by było tego wzoru użyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Czyli jakby było \lim_{ n\to \infty  } nln(1 + 4n) to już nie można by było tego wzoru użyć?

To prawda, nie można by było.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: warszawa
A jakby można wtedy było tę granicę obliczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wrócę do swojego:

n\ln\left(1+\frac{4}{n}\right)=\ln\left(1+\frac{1}{\frac{n}{4}}\right)^n=\ln\left(1+\frac{1}{\frac{n}{4}}\right)^{\frac{n}{4}\cdot 4

Man nadzieję, że widać co dalej...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:49 
Użytkownik

Posty: 45
Lokalizacja: warszawa
a4karo, to przeniesienie n do potęgi to z zasady o logarytmach?
i zrobiłem i ma wyjść e^{4} ? o to w tym chodzi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 22:51 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
ma wyjśc 4. Nie zapominaj o logarytmie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 16 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica z logarytmem naturalnym - zadanie 3  daro[lo]  3
 granica z logarytmem naturalnym - zadanie 8  michary91  2
 Granica z logarytmem naturalnym - zadanie 9  krystian8207  6
 Granica z logarytmem naturalnym - zadanie 12  IloveMath  7
 Granica z logarytmem naturalnym - zadanie 21  KubaaIV  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl