szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lis 2017, o 23:52 
Użytkownik

Posty: 1763
Lokalizacja: Kraków
Pokazać, że na prostej euklidesowej \RR:

a) \overline{\PP}=\overline{\QQ}=\RR, gdzie \QQ oznacza liczby wymierne i \PP=\RR \setminus \QQ.
b)Niech \left\{ a_1,a_2,...\right\} \subset \RR, niech b_1,b_2,... będzie zbieżnym ciągiem liczb rzeczywistych i niech B=\left\{ a_i+b_i:i=1,2,...\right\}. Pokazać, że jeśli \overline{A}=\RR, to także \overline{B}=\RR. Czy założenie zbieżności ciągu b_i jest istotne?

Te kreski "z boku" zbiorów powinny być na górze to chyba oznacza dopełnienie.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2017, o 00:13 
Użytkownik

Posty: 12538
Nie żadne dopełnienie, tylko domknięcie. Dla zbioru A w przestrzeni X z ustaloną topologią zbiór \overline{A} to najmniejszy w sensie zawierania zbiór domknięty, w którym zawarty jest zbiór A.
a) Rozważ ciąg liczb niewymiernych zbieżny do liczby wymiernej i ciąg liczb wymiernych zbieżny do liczby niewymiernej.
b) Rozumiem, że A=\left\{ a_1, a_2\ldots\right\}. To, że \overline{A}=\RR w praktyce oznacza, iż dla dowolnego x \in \RR istnieje taki ciąg (a_n) elementów A, że \lim_{n \to  \infty } a_n=x
No to teraz ustalmy dowolne x \in \RR i skoro \overline{A}=\RR, to istnieje taki ciąg (a_{\delta_n}) ( \lim_{n \to  \infty } \delta_n=+\infty) elementów A, że \lim_{n \to  \infty } a_{\delta_n}=x-b, wówczas
\lim_{n \to  \infty } \left( a_{\delta_n}+b_{\delta_n}\right) =x-b+b=x, zatem x \in \overline{B}
Założenie o zbieżności b_i najwyraźniej jest istotne, nie chce mi się tego dowodzić (a może nie potrafię), nie lubię takich pytań. Sprowadzają się one (przy pozytywnej odpowiedzi o istotności założeń) do wymyślenia mniej lub bardziej egzotycznego kontrprzykładu, zwykle bardziej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2017, o 00:39 
Użytkownik

Posty: 15128
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wystarczy wziąć rozbieżny ciag b_n=-a_n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 17:20 
Użytkownik

Posty: 1763
Lokalizacja: Kraków
Premislav napisał(a):
Nie żadne dopełnienie, tylko domknięcie. Dla zbioru A w przestrzeni X z ustaloną topologią zbiór \overline{A} to najmniejszy w sensie zawierania zbiór domknięty, w którym zawarty jest zbiór A.


Definiując domknięcie używasz sformułowania zbiór domknięty. Nie bardzo mogę ogarnąć. Co to jest tak łopatologicznie, domknięcie, zbiór domknięty?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 17:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2705
Lokalizacja: Radom
Zbiór domknięty to taki zbiór, którego dopełnienie jest otwarte.
W przestrzeni metrycznej równoważna definicja mówi, że zbiór A \subset X jest domknięty jeśli dla dowolnego ciągu elementów z A (x_n) \subset A \subset X, jeśli x_n  \rightarrow x \in X to x \in A.
Domknięcie zbioru to przecięcie wszystkich zbiorówdomkniętych go zawierających, czyli (tak jak napisał Premislav) jest to najmniejszy zbió domknięty zawierający dany zbiór.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 18:40 
Użytkownik

Posty: 1763
Lokalizacja: Kraków
Aha no dobra to chyba już czaję. W a) Weźmy dowolny zbieżny ciąg liczb niewymiernych. On może dążyć do liczby wymiernej np. x_n=a+  \frac{ \sqrt{2} }{n}, gdzie a to liczba wymierna lub niewymierna jeśli a-niewymierne i innych możliwości nie ma bo do zespolonych chyba nie da rady w sposób oczywisty. A suma liczb wymiernych i niewymiernych to liczby rzeczywiste i zbiór liczb rzeczywistych jest domknięty. I nie można z tego zbioru wyrzucić żadnego elementu a, bo zawsze istnieje ciąg liczb niewymiernych dążący do a. A zatem zbiór liczb rzeczywistych to najmniejszy zbiór domknięty zawierający zbiór liczb niewymiernych. Dobrze?

Analogicznie można pokazać, że domknięcie zbioru liczb wymiernych to zbiór liczb rzeczywistych bo istnieją ciągi liczb wymiernych dążące zarówno do dowolnej liczby wymiernej jak i do liczby niewymiernej.
A zatem domknięcie obu tych zbiorów to liczby rzeczywiste. Ta?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2017, o 06:48 
Użytkownik

Posty: 15128
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tu niestety pomyliła ci się suma algebraiczne z sumą mnogosciową. (o ile rozumiem Twoje rozumowanie)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2017, o 17:20 
Użytkownik

Posty: 1763
Lokalizacja: Kraków
Jak to? To ja ta suma powinna być? Chyba mnogościowa? Dlaczego algebraiczna? Co jest nie tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lis 2017, o 01:11 
Użytkownik

Posty: 15128
Lokalizacja: Bydgoszcz
max123321 napisał(a):
Aha no dobra to chyba już czaję. W a) Weźmy dowolny zbieżny ciąg liczb niewymiernych. On może dążyć do liczby wymiernej np. x_n=a+  \frac{ \sqrt{2} }{n}, gdzie a to liczba wymierna lub niewymierna jeśli a-niewymierne i innych możliwości nie ma bo do zespolonych chyba nie da rady w sposób oczywisty.


Namieszałeś tu ostro: najpierw piszesz, że bierzesz dowolny zbieżny ciąg liczb niewymiernych. A potem nagle nie jest dowolny, tylko ma bardzo konkretną postać...

Jeżeli a jest liczbą niewymierną, to liczby a+ \frac{ \sqrt{2} }{n} wcale nie muszą być niewymierne (przynajmniej niektóre)


Przemyśl swoje rozumowanie: wystarczy, że dla dowolnej liczby wymiernej skonstruujesz ciag liczb niewymiernych zbieżny doniej, żeby pokazać gęstość liczb niewymiernych.

Cytuj:
A suma liczb wymiernych i niewymiernych to liczby rzeczywiste i zbiór liczb rzeczywistych jest domknięty. I nie można z tego zbioru wyrzucić żadnego elementu a, bo zawsze istnieje ciąg liczb niewymiernych dążący do a. A zatem zbiór liczb rzeczywistych to najmniejszy zbiór domknięty zawierający zbiór liczb niewymiernych. Dobrze?


Przecież to wytłuszcone pokazujesz, więc nie możesz z tego argumentu skorzystać.
Cytuj:

Analogicznie można pokazać, że domknięcie zbioru liczb wymiernych to zbiór liczb rzeczywistych bo istnieją ciągi liczb wymiernych dążące zarówno do dowolnej liczby wymiernej jak i do liczby niewymiernej.
A zatem domknięcie obu tych zbiorów to liczby rzeczywiste. Ta?


No własnie nie analogicznie. Łatwo skonstruować ciąg liczb niewymiernych zbieżny do liczby wymiernej (co zrobiłeś powyżej). trochę trudniej w drugą stronę: skonstruować ciąg licz wymiernych zbieżny do zadanej liczby niewymiernej.

Inna rzecz, że sposób konstrukcji zależy mocno od tego, jak definiujesz liczy rzeczywiste.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2017, o 03:56 
Użytkownik

Posty: 1763
Lokalizacja: Kraków
No dobra, skonstruować ciąg wymiernych lecący do niewymiernej.
To weźmy tą niewymierną liczbę k. Ma ona przedstawienie dziesiętne jak każda. To weźmy to przedstawienie dziesiętne:
k=x_1x_2x_3....x_i,x_{i+1}....., gdzie te iksy indeksowane to kolejne cyfry liczby k w rozwinięciu dziesiętnym. No to wówczas dla takiej liczby utwórzmy ciąg: a_n= \sum_{k=1}^{n} x_k \cdot 10^{i-k}. To ten ciąg tworzą liczby wymierne, a dążą do niewymiernej.
Tak jest dobrze?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 pokazać, że jeśli metryki  flannery1990  3
 pokazać miarę  Kaya23  1
 Pokazać, że podany zbiór jest domknięty.  siunia92  2
 Pewien podział prostej  Peter Zof  4
 Pokazać, że przestrzeń jest ośrodkowa i zupełna  malgoskk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl