szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
\lim_{n\to\infty} \frac {\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}}
Mam problem z tą granicą. W wyniku poszukiwań w google znalazłem tylko informacje o szeregu harmonicznym, który nie jest zbieżny.. Jednak w odp. widnieje granica równa 1. Przykład z Analizy matematycznej Gewerta, Skoczylasa.
Proszę o pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 18:47 
Użytkownik

Posty: 13246
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wsk:\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n+1}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 18:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2906
Lokalizacja: blisko
Zapisz to tak:

\frac{H_{n}+ \frac{1}{n+1} }{H_{n}}

Dalej widać
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 18:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 10576
Lokalizacja: Wrocław
Gwoli ścisłości tam by było w liczniku i mianowniku H_n-1. Tylko jeszcze trzeba oczywiście wiedzieć, że
\lim_{n \to  \infty } H_n=+\infty
Można to udowodnić na wiele sposobów, np. tak:
kładąc w znanej nierówności \ln(1+x)\le x kolejno
x=1, x=\frac 1 2, \ldots x=\frac 1 n mamy nierówności:
\ln 2 \le 1\\ \ln\left( \frac 3 2\right) \le \frac 1 2\\ \ldots\\ \ln\left( \frac{n+1}n\right)  \le \frac 1 n
Po dodaniu tych nierówności stronami otrzymujemy:
1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n} \ge \ln 2+\ln \left( \frac 3 2\right) +\ldots+\ln\left( \frac{n+1}{n}\right) =\ln(n+1)
gdyż suma logarytmów to logarytm iloczynu.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 18:57 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
\lim_{n\to\infty} (1+0), bo \frac{1}{n+1}{\to\ 0}?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 19:09 
Administrator

Posty: 21183
Lokalizacja: Wrocław
Czarteg napisał(a):
\lim_{n\to\infty} (1+0), bo \frac{1}{n+1}{\to\ 0}?

A cóż miałby znaczyć ten magiczny zapis?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 19:17 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
Haha faktycznie, zapisałem to jakbym w życiu granic w szkole nie miał :)
Miało to oznaczać tyle co \frac{H_{n}}{H_{n}}=1,\   \frac{1}{n+1}{\to\ 0
I przy rozwiązywaniu granicy, po "opuszczeniu limesa i zmiennej n otrzymamy ...=1+0
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 19:19 
Użytkownik

Posty: 13246
Lokalizacja: Bydgoszcz
Czarteg napisał(a):
\frac{H_{n}}{H_{n}}=1 \frac{1}{n+1}{\to\ 0


?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 19:22 
Administrator

Posty: 21183
Lokalizacja: Wrocław
Czarteg napisał(a):
I przy rozwiązywaniu granicy, po "opuszczeniu limesa i zmiennej n otrzymamy ...=1+0

To dalej nie wygląda najlepiej, bo w tej granicy nie występuje czynnik \frac{1}{n+1}, tylko \frac{1}{H_n\cdot(n+1)}. "Opuszczanie limesa i zmiennej n" też brzmi podejrzanie.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 19:30 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
Czyli, że to jest niepoprawne?
\lim_{n\to\infty} \frac {\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{H_{n}+ \frac{1}{n+1} }{H_{n}}=\lim_{n\to\infty} \frac{H_{n}}{H_{n}}+\frac{\frac{1}{n+1}}{H_{n}}
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 19:35 
Użytkownik

Posty: 13246
Lokalizacja: Bydgoszcz
POprawnie, tylko nie to napisałeś :)

Ale granica której szukasz to nie H_{n+1}/H_n lecz (jak słusznie zauważył Premislav
(H_{n+1}-1)/(N_n-1)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Re: Granica sum
PostNapisane: 14 lis 2017, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Warszawa
Okej, dzięki wszystkim :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica funkcji/funkcja odwrotna.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl