szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2017, o 21:05 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: warszawa
Mam problem z rozwiązaniem zadania.
Trzeba wyznaczyć przedziały zbieżności szeregu
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{1+x^{2n}}

z góry dzięki za pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2017, o 21:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13226
Lokalizacja: Wrocław
Dla |x|<1 możemy oszacować
\left| \frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{|x|^n}{1+x^{2n}}  \le |x|^n
a szereg \sum_{n=1}^{ \infty } |x|^n jest dla |x|<1 zbieżnym szeregiem geometrycznym,
natomiast dla |x|>1 możemy zapisać
\left| \frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{|x|^n}{1+x^{2n}} \le  \frac{|x|^n}{x^{2n}} =|x|^{-n} i podobnie jak wyżej (zakładam, że x \in \RR).
Jeszcze trzeba rozważyć |x|=1, wtedy nie ma zbieżności.
To załatwia kwestię zbieżności punktowej (jest ona na \RR\setminus\left\{ -1,1\right\}), bo rozumiem, że o taką chodzi.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczyć przedział zbieżności  AsiaPipitrasia  6
 zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego  widowisko3  2
 wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego  hollylenka  5
 Zbieżność punktowa/jednostajna/obszar zbieżności  kbzium  0
 Badanie zbieżności szeregu przez zbieżnosć bezwzględną  Kalkulatorek  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl