szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2017, o 22:05 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: warszawa
Mam problem z rozwiązaniem zadania.
Trzeba wyznaczyć przedziały zbieżności szeregu
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{1+x^{2n}}

z góry dzięki za pomoc
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 lis 2017, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 12037
Dla |x|<1 możemy oszacować
\left| \frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{|x|^n}{1+x^{2n}}  \le |x|^n
a szereg \sum_{n=1}^{ \infty } |x|^n jest dla |x|<1 zbieżnym szeregiem geometrycznym,
natomiast dla |x|>1 możemy zapisać
\left| \frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{|x|^n}{1+x^{2n}} \le  \frac{|x|^n}{x^{2n}} =|x|^{-n} i podobnie jak wyżej (zakładam, że x \in \RR).
Jeszcze trzeba rozważyć |x|=1, wtedy nie ma zbieżności.
To załatwia kwestię zbieżności punktowej (jest ona na \RR\setminus\left\{ -1,1\right\}), bo rozumiem, że o taką chodzi.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczyć przedział zbieżności  AsiaPipitrasia  6
 Przedział zbieżności szeregu - zadanie 9  agaaaaa  1
 Obszar zbiezności ciągu funkcyjnego - zadanie 2  KacperMat1993  1
 przedział zbieżności szeregu.  Potterinho  4
 Obszar zbieżności szeregu - zadanie 11  niunsn  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl