szukanie zaawansowane

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka i wyzwania » Olimpiady i konkursy matematyczne » Liga Forum matematyka.pl
 Strona 1 z 1
  [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna bolo Offline
PostNapisane: 23 wrz 2007, o 23:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
  1. Obliczyć drugi wyraz ciągu 3^{x_{1}}, 3^{x_{2}}, 3^{x_{3}},\ldots wiedząc, że jest to ciąg geometryczny i że x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{11}=55 oraz x_{5}=4. (5pkt.)
  2. Wykaż, że dla dowolnych liczb a_{1}, a_{2}, a_{3} różnych od zera i takich, że liczby a_{1}^{3}, a_{2}^{3}, a_{3}^{3} tworzą ciąg arytmetyczny, spełniona jest równość:
    \frac{1}{a_{1}^{2} +a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}} +\frac{1}{a_{2}^{2} +a_{2}a_{3}+a_{3}^{2}}= \frac{2}{a_{1}^{2} +a_{1}a_{3}+a_{3}^{2}}.
    (5pkt.)
  3. Dane są wierzchołki trójkąta ABC:
    A=(5, 8)\\ B=(-2,9)\\ C=(-4,5).
    Sprawdź, czy punkt przecięcia wysokości, punkt przecięcia środkowych oraz środek koła opisanego na tym trójkącie leżą na jednej prostej? (5pkt.)
  4. W każdej z dziesięciu jednakowych urn U_{1}, U_{2},\ldots ,U_{10} znajduje się 10 kul, przy czym w urnie o numerze n (1 \leqslant n \leqslant 10) jest n kul białych i 10-n kul czarnych. Sięgamy losowo do jednej z urn i losujemy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej? (5pkt.)
__________

Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 30 września) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: Obrazek według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:

:arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42434

Zapraszamy. Powodzenia :)
Góra
Mężczyzna bolo Offline
PostNapisane: 30 wrz 2007, o 23:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
Tabela wyników:

\begin{array}{l|c|c|c|c|c}\hline\hline \mbox{Nick} & \mbox{Zad. 1 (/5)} & \mbox{Zad. 2 (/5)} & \mbox{Zad. 3 (/5)} & \mbox{Zad. 4 (/5)} & \mbox{Suma (/20,\,(100\%))}\\ \hline \mbox{altair3} & 5 & - & - & 5 & 10\mbox{pkt.}\,\,(50\%) \\ \mbox{luka52} & 5 & 4 & 2 & - & 11\mbox{pkt.}\,\,(55\%) \\ \mbox{paskuda} & 5 & - & 5 & 5 & 15\mbox{pkt.}\,\,(75\%) \\ \mbox{Sylwek} & 5 & 5 & 3 & 5 & 18\mbox{pkt.}\,\,(90\%) \\ \mbox{Szemek} & 5 & - & 4 & - & 9\mbox{pkt.}\,\,(45\%) \\ \hline\hline\end{array}


Przykładowe rozwiązania:

  1. Ponieważ ciąg 3^{x_{1}}, 3^{x_{2}}, 3^{x_{3}},\ldots jest geometryczny, o ilorazie q, to ciąg x_{1}, x_{2},\ldots jest arytmetyczny, gdyż:
    \frac{3^{x_{n+1}}}{3^{x_{n}}}=q>0 dla n=1, 2,\ldots

    Stąd x_{n+1}-x_{n}=log_{3}{q}=r.
    Ciąg \left(x_{n}\right) spełnia więc wzór:
    x_{n}=x_{1}+(n-1)r.
    Z warunków zadania otrzymujemy układ:
    \begin{cases}\frac{2x_{1}+10r}{2}\cdot 11=55 \\ x_{1}+4r=4, \end{cases}

    z którego wyznaczamy x_{1}=0, \ r=1, zatem x_{2}=1 i 3^{x_{2}}=3.
  2. Z własności ciągu arytmetycznego wynika:
    r=a_{2}^{3}-a_{1}^{3}=a_{3}^{3}-a_{2}^{3},
    skąd
    2r =a_3^{3}- a_1^{3}.

    Niech
    L=\frac{1}{a_{1}^{2} +a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}}+\frac{1}{a_{2}^{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}^{2}},
    P=\frac{2}{a_{1}^{2}+a_{1}a_{3}+a_{3}^{2}}.

    Jeżeli r=0, to a_{1}=a_{2}=a_{3} i równość jaką mamy dowieść jest prawdziwa. Niech więc r\neq 0. Tak więc liczby a_{1}, a_{2}, a_{3} są parami różne i zgodnie z wzorem
    \frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}=\frac{x-y}{x^{3}- y^{3}}
    mamy, że:
    L=\frac{a_{2}-a_{1}}{a_{2}^{3}-a_{1}^{3}}+\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{3}^{3}-a_{2}^{3}}=\frac{a_{3}-a_{1}}{r},
    P=\frac{2(a_{3}-a_{1})}{a_{3}^{3}-a_{1}^{3}}=\frac{2(a_{3}-a_{1})}{2r}=\frac{a_{3}-a_{1}}{r},
    L=P.
  3. Niech B_{1},C_{1} będą spodkami wysokości trójkąta ABC na boki AC i AB odpowiednio. Równanie prostej AC jest x-3y+19=0, zaś AB jest x+7y-61=0. Z kolei liczymy równania prostych:

    BB_1:\quad 3x+y=3, \\ CC_1:\quad 7x-y+33=0.

    Punkt W(-3,12) jest punktem przecięcia wysokości. Równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC: x^{2}+y^{2}+kx+ly+m=0. Punkty A, B, C spełniają to równanie, co daje układ równań:

    \begin{cases}5k+8l+m=-89 \\ -2k+9l+m=-85 \\ -4k+5l+m=-41.\end{cases}

    Rozwiązując go otrzymamy, że k=-2, l=-10, m=1. Równaniem okręgu jest więc (x-1)^{2}+(y-5)^{2}=25. Jego środek S(1,5), prosta SW jest opisana: 7x+4y=27. Łatwo sprawdzić, ze punkt P\left(-\frac{1}{3},\frac{22}{3}\right), który jest punktem przecięcia środkowych należy do prostej SW.
  4. Jak widać, prawdopodobieństwo P(U_{n}) wylosowania każdej z dziesięciu urn U_{n}, n=1, 2,\ldots ,10 jest takie samo i równe \tfrac{1}{10}. Z treści zadania wynika, że P(cz|U_{n})=\tfrac{10-n}{10}.
    Korzystając z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym mamy: P(cz)=\sum_{n=1}^{10} P(cz|U_{n})P(U_{n})= \sum_{n=1}^{10} \frac{10-n}{10}\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{100}(9+8+\ldots+1+0)=\frac{45}{100}.
Góra
Poprzedni | Następny 
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  Strona 1 z 1
  [ Posty: 2 ] 

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka i wyzwania » Olimpiady i konkursy matematyczne » Liga Forum matematyka.pl

 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Liga 2004] Pytania, uwagi do treści zadań...  Arek  20
 [Liga maturalna] Seria 9 (19.11.07r.-02.12.07r.)  bolo  0
 [Liga maturalna] Seria 8 (12.11.07r.-18.11.07r.), wyniki  bolo  1
 [Liga 2004] Oceny za zadania  Arek  2
 [Liga maturalna] Seria 6 (29.10.07r.-04.11.07r.), wyniki  bolo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl