szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 15:24 
Użytkownik

Posty: 145
1)  \lim_{n \to \infty} \sin \sqrt{n+1} - \sin \sqrt{n}

2) \lim_{n \to \infty} ( \pi  \sqrt{n^{2}+n} )

Nie wiem czy w 1) korzystać ze wzoru skróconego mnożenia a^{2}-b^{2}?
W 2) nie mam pomysłu, pomoże ktoś?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 15:29 
Użytkownik

Posty: 12648
1) Skorzystaj ze wzoru na różnicę sinusów:
\sin x-\sin y=2\sin\left( \frac{x-y}{2}\right) \cos\left( \frac{x+y}{2}\right), a następnie z szacowania \sin t\le t dla t\ge 0 (no i z tego, że sinus jest dodatni w pierwszej ćwiartce). Zastosuj tw. o trzech ciągach.
2) Zauważ, że \lim_{n \to  \infty } (\sqrt{n^2+n}-n)=0 (sprzężenie), potem napisz
\sqrt{n^2+n}=(\sqrt{n^2+n}-n)+n i skorzystaj ze wzoru na sinus sumy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 16:18 
Użytkownik

Posty: 145
Nie mogę zrozumieć tego pierwszego przykładu, tzn. zastosowałem różnicę sinusów i teraz mam rozdzielić ten iloczyn, który mi wyszedł i szacować osobno, czy...?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 17:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1471
Lokalizacja: hrubielowo
Inaczej.

\left| \sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n}\right|=\left|  \int_{\sqrt{n}}^{\sqrt{n+1}}\cos x \mbox{d}x  \right| \le  \int_{\sqrt{n}}^{\sqrt{n+1}}\left| \cos x\right|  \mbox{d}x \le \int_{\sqrt{n}}^{\sqrt{n+1}}1 \mbox{d}x=\\=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \rightarrow 0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 12648
Fajnie.

A co do mojego, to i tak trzeba szacować moduł, sorry. Tak by to było:
\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n}=2\sin\left(  \frac{1}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \right)\cos\left( \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2}\right);
\left| \sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n}\right| =2\left| \sin\left(  \frac{1}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \right)\right|\left|\cos\left( \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2}\right)\right|
i teraz szacujemy z nierówności
|\sin x|\le |x| oraz |\cos t|\le 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2017, o 06:52 
Użytkownik

Posty: 15341
Lokalizacja: Bydgoszcz
W b), o ile się nie pomyliłeś, to mamy trywialną nieskończoność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2017, o 14:16 
Użytkownik

Posty: 12648
W b) tak rozsądnie patrząc powinien być jeszcze jakiś sinus czy cosinus (tj. to wygląda na argument jakiegoś sinusa czy cosinusa, inaczej przykład trochę bez sensu).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz granice ciągów  jazdaa  3
 wyznacz granicę ciągów  tomi140  2
 Wyznacz granice ciągów - zadanie 2  djmostek  5
 Wyznacz granicę ciągów - zadanie 3  eras  5
 Wyznacz granice ciągów - zadanie 4  mortan517  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl