szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 55
Lokalizacja: szczecin
widze ze ciąg biegnie do \infty ale jak to oficjalnie rozwiazac?

wykazac zbieżnosc ciagu(tw o ciagu monotoniczym i ograniczonym):
\frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 18:59 
Moderator

Posty: 2041
Lokalizacja: Trzebiatów
Oblicz a_{n+1} - a_{n}, żeby zbadać monotoniczność i ogranicz każdy wyraz z góry przez \frac{1}{n+1}, żeby znalezc ograniczenie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 19:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1756
Lokalizacja: hrubielowo
Wykazując tylko zbieżność wystarczy że pokażesz ograniczoność i monotoniczność.
Ciąg jest ograniczony bo

\frac{1}{2} =\frac{n}{n+n} \le \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n} \le  \frac{n}{n+1} \le 1

Ciąg jest też monotoniczne rosnący bo wyrażanie:

\frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}+ \frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}-\left( \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\right)

jest dodatnie.
Dlatego ciąg ma granicę.

Można ją nawet policzyć

\lim_{n \to  \infty } \sum_{k=1}^{n}  \frac{1}{n+k}= \lim_{n \to  \infty } \frac{1}{n}  \sum_{k=1}^{n}  \frac{1}{1+ \frac{k}{n} }= \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \mbox{d}x =\ln 2
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazać zbieżność ciągu  piwcuk  23
 wykazać zbieżność ciągu - zadanie 3  damcios  4
 Wykazac zbieznosc ciagu  lenkaja  1
 wykazać zbieżność ciągu - zadanie 4  damcios  1
 Wykazac zbieznosc ciagu - zadanie 2  lenkaja  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl