szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2017, o 21:05 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Cześć,

Mam pytanie co do kwestii, która była dla mnie niezbyt jasna na wykładzie na uczelni.

Najpierw liczyliśmy całki z \frac{1}{z^2}. Funkcja ta jest oczywiście holomorficzna na zbiorze \CC \setminus \{0\}.

Dla tej funkcji znaleźliśmy funkcję pierwotną -\frac{1}{z} i na tej podstawie obliczyliśmy całkę z tej funkcji po odcinku łączącym punkty i oraz 1 odejmując od siebie wartości funkcji pierwotnej w tych punktach. Wartość całki nie zależy od kształtu krzywej.

Następna do obliczenia była całka o okręgu o promieniu 1 i środku w (0,0) - tutaj na podstawie tego, że nasza funkcja ma funkcję pierwotną na swojej dziedzinie napisaliśmy, że wartość całki wynosi 0 (mamy tu krzywą zamkniętą - jej początek i koniec jest ten sam).

Później liczyliśmy całki z funkcji \frac{1}{z}. Rozważaliśmy przypadek krzywej zamkniętej, która zawiera się w zbiorze jednospójnym (np. okrąg o promieniu 1 i środku w punkcie (0,2)). Wcześniej, przy \frac{1}{z^2}, nie zwracaliśmy na tę jednospójność uwagi (w tamtym przykładzie z okręgiem, okręgu nie dało się zawrzeć w obszarze jednospójnym), teraz okazuje się, że jest to istotne. Ze względu na to, że zbiór jest jednospójny, mogliśmy zastosować tę samą metodę i od razu powiedzieć, że wartość całki wynosi 0.

Rozważyliśmy też przypadek łuku - górnej połówki ww. okręgu, gdzie całkę można było policzyć, podobnie jak wcześniej, jako różnicę wartości funkcji pierwotnych - wartość całki nie zależała od kształtu krzywej.

Następnie, podobnie jak przy poprzedniej funkcji, rozważyliśmy okrąg o promieniu 1 i środku w (0,0). I tutaj ze względu na to, że krzywej nie da się zawrzeć w zbiorze jednospójnym, nie mogliśmy zrobić tak, jak we wcześniejszych przykładach, lecz musieliśmy policzyć tę całkę z definicji (moglibyśmy też skorzystać ze wzoru całkowego Cauchy'ego albo z twierdzenia o residuach, ale wtedy jeszcze nie mieliśmy wprowadzonych tych metod). Wyszła liczba różna od zera (dokładnie: 2 \pi i), na podstawie czego wysnuliśmy wniosek, że funkcja ta na dowolnym obszarze zawierającym krzywą, po której aktualnie całkujemy, nie posiada funkcji pierwotnej.

I teraz nie do końca rozumiem, dlaczego najpierw, przy \frac{1}{z^2}, to, czy okrąg da się umieścić w obszarze jednospójnym, czy nie, nie miało znaczenia, a już przy \frac{1}{z} było to bardzo istotne. A właściwie - nie rozumiem, dlaczego w tym pierwszym przypadku nie miało to znaczenia.

Czy dobrze myślę, że jeśli dla funkcji podcałkowej da się znaleźć funkcję pierwotną, która będzie określona w każdym punkcie krzywej, po której całkujemy (obszar jednospójny to zapewnia, ale nie jest warunkiem koniecznym), wartość całki nie będzie zależała od kształtu krzywej i będzie można ją obliczyć jako różnicę wartości funkcji pierwotnych w końcach tej krzywej (lub będzie ona równa 0 dla krzywej zamkniętej), natomiast jeśli funkcja pierwotna choć w jednym punkcie krzywej jest nieokreślona, nie możemy zastosować tej metody i musimy liczyć z definicji/z Cauchy'ego/z residuów? Czy może w tym moim założeniu jeszcze czegoś brakuje?

Tak naprawdę dla tej drugiej funkcji można by było nie mówić w ogóle o obszarze jednospójnym, tylko zauważyć, że w punkcie (-1,0) należącym do krzywej funkcja pierwotna funkcji \frac{1}{z}: \log{z} nie istnieje?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 lis 2017, o 14:33 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8230
Lokalizacja: Wrocław
kpc21 napisał(a):
Czy dobrze myślę, że jeśli dla funkcji podcałkowej da się znaleźć funkcję pierwotną, która będzie określona w każdym punkcie krzywej, po której całkujemy (obszar jednospójny to zapewnia, ale nie jest warunkiem koniecznym), wartość całki nie będzie zależała od kształtu krzywej i będzie można ją obliczyć jako różnicę wartości funkcji pierwotnych w końcach tej krzywej (lub będzie ona równa 0 dla krzywej zamkniętej)
Dokładniej: jeśli da się znaleźć funkcję pierwotną, która będzie określona na pewnym otwartym nadzbiorze krzywej, po której całkujemy. Funkcje holomorficzne zawsze rozważa się na zbiorze otwartym.

kpc21 napisał(a):
natomiast jeśli funkcja pierwotna choć w jednym punkcie krzywej jest nieokreślona, nie możemy zastosować tej metody i musimy liczyć z definicji/z Cauchy'ego/z residuów?
Ściślej: jeśli nie istnieje funkcja pierwotna określona na pewnym otwartym nadzbiorze krzywej.

Jeśli funkcja pierwotna nie istnieje, to raczej z globalnego powodu, a nie dlatego, że nie istnieje w jednym punkcie. Innymi słowy: jeśli funkcja f jest holomorficzna w obszarze D \subseteq \CC, to każdy punkt z_0 \in D ma otoczenie otwarte z_0 \in B \subseteq D, w którym f ma funkcję pierwotną. Może się jednak zdarzyć, że tych lokalnie określonych funkcji pierwotnych nie można posklejać w jedną funkcję pierwotną na całym obszarze D.


kpc21 napisał(a):
I teraz nie do końca rozumiem, dlaczego najpierw, przy \frac{1}{z^2}, to, czy okrąg da się umieścić w obszarze jednospójnym, czy nie, nie miało znaczenia, a już przy \frac{1}{z} było to bardzo istotne. A właściwie - nie rozumiem, dlaczego w tym pierwszym przypadku nie miało to znaczenia.
Sam dobrze odpowiedziałeś, ale podsumujmy: w pierwszym przypadku znaleźliście funkcję pierwotną, więc całkę można było obliczyć jako różnicę wartości funkcji pierwotnej na końcach krzywej, bez względu na jednospójność. W drugim przypadku nie mieliście funkcji pierwotnej (a później się okazało, że takowa nie istnieje), więc należało poszukać innego powodu, dla którego całka mogła się zerować, i było nim twierdzenie całkowe Cauchy'ego, korzystające z jednospójności.


kpc21 napisał(a):
Tak naprawdę dla tej drugiej funkcji można by było nie mówić w ogóle o obszarze jednospójnym, tylko zauważyć, że w punkcie (-1,0) należącym do krzywej funkcja pierwotna funkcji \frac{1}{z}: \log{z} nie istnieje?
A jaki miałby stąd płynąć wniosek?

\mathrm{Log} \, z jest jedną z wielu możliwych funkcji pierwotnych, o arbitralnie dobranej dziedzinie \CC \setminus (-\infty, 0]. A żeby ostatecznie wykluczyć możliwość skorzystania z metody funkcji pierwotnej, należałoby udowodnić, że nie istnieje żadna funkcja pierwotna określona na otoczeniu podanego okręgu.

Poza tym, Waszym celem było obliczenie całki po tym okręgu, a nieistnienie funkcji pierwotnej może służyć zaledwie do tego, aby wykluczyć jedną z potencjalnych metod jej obliczania; nie można z tego wywnioskować, ile ta całka wynosi.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka po okręgu (0,2).  Ktoscoscos  5
 Zamiana całki Riemmana na całkę krzywoliniową  michaelllo  1
 Zbieżność na okręgu  NogaWeza  1
 Obliczyć wartość całki - zadanie 2  max123321  2
 Obliczyć całki - zadanie 49  jelen12320  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl