szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lis 2017, o 01:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 105
Lokalizacja: Polska
Witam. Pytanie: czy następujące rozumowanie jest poprawne?

Teza: Ciąg zbieżny jest ograniczony, tzn. \exists_{x \in X} \exists_{r>0} \forall_{x_n}. x_n \in \overline{K} (x, r)

Niech (x_n)_{n \in \mathbb{N}} będzie ciągiem zbieżnym do g w przestrzeni metrycznej \left( X, \rho \right).
Weźmy dowolne \varepsilon > 0. Istnieje liczba N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} taka, że dla każdego n \geq N_{\varepsilon} zachodzi x \in K(g, \varepsilon).
Rozważmy zbiór
A = \left\{ \varepsilon, \rho(x_1, g), \ldots, \rho(x_{N_{\varepsilon}}, g) \right\};
zbiór A jest skończony; istnieje zatem liczba M = \max A. (\varepsilon \leq M). Wtedy:
dla n \in \mathbb{N}, n < N_{\varepsilon}: x_n \in \overline{K} (g, M)
dla n \in \mathbb{N}, n \geq N_{\varepsilon}: x_n \in K (g, \varepsilon) \subseteq \overline{K} (g, M).
Zatem dla każdego n \in \mathbb{N}, x_n \in \overline{K} (g, M) czyli ciąg (x_n)_{n \in \mathbb{N}} jest ograniczony.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lis 2017, o 01:34 
Użytkownik

Posty: 15341
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tak, choć sformułowanie:
Cytuj:
istnieje zatem liczbaM = \max A
brzmi troche sztucznie
Lepiej nie wprowadzać wogóle zbioru A (nigdzie z niego nie korzystasz) i napisac od razu
Niech M=\max \left\{ \varepsilon, \rho(x_1, g), \ldots, \rho(x_{N_{\varepsilon}}, g) \right\}

A teraz spróbuj pokazać trochę więcej. Załóż, że ciąg \{x_n\} nie jest zbieżny, ale że jest ciągiem Cauchy'ego i pokaż, że jest ograniczony.

-- 20 lis 2017, o 01:36 --

I oczywista literówka:
Istnieje liczbaN_{\varepsilon} \in \mathbb{N} taka, że dla każdego n \geq N_{\varepsilon} zachodzi{\red  x_n} \in K(g, \varepsilon).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lis 2017, o 01:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 105
Lokalizacja: Polska
Dziękuję ;] Spróbuję, spróbuję. Robię powtórkę i warunek Cauchy'ego, przestrzenie zupełne, itd. też są w planach, ale to jeszcze rozdział-dwa przede mną : P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kiedy szereg jest zbieżny ? - zadanie 2  Anonymous  3
 Kiedy szereg jest zbieżny ?  Margaretta  2
 Udowodnij, że ciąg jest nieograniczony z dołu  deny  1
 Co to jest podzielność ciągu ?  Anonymous  2
 Kłopotliwy ciąg  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl