szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lis 2017, o 19:28 
Użytkownik

Posty: 128
Udowodnić, że a = \sup (Z) wtedy i tylko wtedy, gdy a ogranicza z z góry oraz (\forall \epsilon>0)(\exists z\in Z)(a- \epsilon < z \le a), gdzie Z jest pewnym ograniczonym z góry podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.

1. a = \sup (Z), a więc a ogranicza zbiór Z z góry (z definicji supremum).
Weźmy teraz dowolny \epsilon >0. Rozważmy a - \epsilon. Wiemy, że a - \epsilon < a, a zatem pomiędzy a - \epsilon oraz a istnieje nieskończenie wiele liczb (zasada gęstości zbioru liczb rzeczywistych) A więc istnieje taka liczba z \in Z, że a- \epsilon < z \le a

2. Tę stronę pokażę przez kontrapozycję.
Załóżmy, że a \ne \sup (B). Mamy wtedy dwie możliwości
1) a > \sup (Z), zatem (\forall z\in Z) (z<a). Ponadto między a oraz \sup (Z) istnieje nieskończenie wiele liczb, zatem istnieje odpowiednio małe \epsilon takie, że a - \epsilon > \sup (Z)

2) a < \sup (Z)
A więc a nie ogranicza zbioru Z z góry, a zatem istnieje takie z \in Z, że a < z

Czy moje rozumowanie jest poprawne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 01:34 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7839
Lokalizacja: Wrocław
Kalkulatorek napisał(a):
Rozważmy a - \epsilon. Wiemy, że a - \epsilon < a, a zatem pomiędzy a - \epsilon oraz a istnieje nieskończenie wiele liczb (zasada gęstości zbioru liczb rzeczywistych) A więc istnieje taka liczba z \in Z, że a- \epsilon < z \le a
Jak z faktu, że w przedziale (a-\epsilon, a) istnieje nieskończenie wiele liczb, wynika, że istnieje w nim element Z ?

Kalkulatorek napisał(a):
1) a > \sup (Z), zatem (\forall z\in Z) (z<a). Ponadto między a oraz \sup (Z) istnieje nieskończenie wiele liczb, zatem istnieje odpowiednio małe \epsilon takie, że a - \epsilon > \sup (Z)
Po pierwsze: do czego potrzebny jest fakt, że w tym przedziale jest nieskończenie wiele liczb? Po drugie, jak z faktu, że a - \epsilon > \sup Z, wynika teza?

Kalkulatorek napisał(a):
2) a < \sup (Z)
A więc a nie ogranicza zbioru Z z góry
I to wystarczy dla tego przypadku, bo założyłeś, że ogranicza, więc od razu jest sprzeczność.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Iloczyn ciągów - dowód  mrotka  1
 Dowod wzoru na sume kolejnych liczb naturalnych  Haskis  3
 Jak udowodnić ograniczenie ciągu  szymonides  1
 gęstość zbioru - zadanie 2  zaklopotany93  12
 I kryterium zbieżności Cauchy'ego dowód  aguuuuuusia  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl