szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 18:28 
Użytkownik

Posty: 10
Lokalizacja: Kraków
Witam, czy mógłby ktoś rozwiązać tą granicę ciągu:

\lim_{x\to\infty} n\left( 2n +  \sqrt[3]{3n -  8n^{3}} \right)

Mi wychodzi symbol nieoznaczony 0 \cdot \infty, a w odpowiedziach jest wynik \frac14.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 18:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
2n+\sqrt[3]{3n-8n^3}=2n-\sqrt[3]{8n^3-3n}
i teraz pamiętając wzór na różnicę sześcianów:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
możemy stwierdzić, że
a-b= \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2},
gdy a^2+ab+b^2\neq 0, czyli (w liczbach rzeczywistych) gdy choć jedna z liczb a,b jest różna od zera.
Tj. 2n-\sqrt[3]{8n^3-3n}=\frac{8n^3-(8n^3-3n)}{4n^2+2n\sqrt[3]{8n^3-3n}+\left( 8n^3-3n\right)^{\frac 2 3}}, więc
n\left(2n-\sqrt[3]{8n^3-3n}\right)= \frac{3n^2}{4n^2+2n\sqrt[3]{8n^3-3n}+\left( 8n^3-3n\right)^{\frac 2 3}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 20:57 
Użytkownik

Posty: 15823
Lokalizacja: Bydgoszcz
Z twierdzenia Lagrange'a
2n+\sqrt[3]{3n-8n^3}=\sqrt[3]{8n^3}-\sqrt[3]{8n^3-3n}=\frac{1}{3}\frac{3n}{\sqrt[3]{\xi^2}}
gdzie 8n^3-3n<\xi<8n^3

zatem
\frac{1}{3}\frac{3n^2}{\sqrt[3]{(8n^3)^2}}<n(2n+\sqrt[3]{3n-8n^3})<\frac{1}{3}\frac{3n^2}{\sqrt[3]{(8n^3-3n)^2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2017, o 11:42 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7983
Lokalizacja: Wrocław
Mixons2 napisał(a):
Mi wychodzi symbol nieoznaczony 0 \cdot \infty, a w odpowiedziach jest wynik \frac14.
Z wystąpienia symbolu nieoznaczonego wynika tylko to, że nie można od razu zastosować arytmetyki granic, żeby obliczyć granicę (trzeba więc pomyśleć nad inną metodą). Nie wynika zaś, że granica ciągu istnieje ani że nie istnieje. Na przykład

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot n = [0 \cdot \infty]

to symbol nieoznaczony, ale upraszczając, dostajemy \frac{1}{n} \cdot n = 1, co oczywiście zbiega do jedynki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica z symbolem nieoznaczonym  kubkub  4
 granica z symbolem nieoznaczonym - zadanie 2  fuqs  2
 Granica z symbolem nieoznaczonym - zadanie 3  spammer  1
 Granica z symbolem nieoznaczonym - zadanie 4  jarodol  5
 Granica z symbolem nieoznaczonym - zadanie 5  olabogaretyojej  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl