szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 18:35 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a_n=n(\ln (2n+3)-\ln (2n-1)).
Nie wiem nawet z której strony to ugryźć. Pomoże ktoś krok po kroku?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 18:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 46
Lokalizacja: Haugesund
KubaaIV napisał(a):
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a_n=n(\ln (2n+3)-\ln (2n-1)).
Nie wiem nawet z której strony to ugryźć. Pomoże ktoś krok po kroku?

To jest bardzo proste tylko trzeba skorzystać ze wzoru na różnice logarytmów i logarytm z potęgi.

Wzór czwarty i piąty:

page.php?p=kompendium-funkcje-wykladnicze-i-logarytmiczne
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 19:27 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
to wychodzi mi \lim \left( \ln \left(  \frac{2n+3}{2n-1} \right)  ^{n}  \right) i mam teraz n wyłączyć przed nawias i skrócić? Granica wyjdzie 1 ^{ \infty }?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 20:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 46
Lokalizacja: Haugesund
KubaaIV napisał(a):
to wychodzi mi \lim \left( \ln  \left(  \frac{2n+3}{2n-1} \right)  ^{n}  \right) i mam teraz n wyłączyć przed nawias i skrócić? Granica wyjdzie 1 ^{ \infty }?

Co niby skrócić ?

Przekształć to tak:

\left( \frac{2n+3}{2n-1} \right)  ^{n} =  \left( 1 + \frac{4}{2n-1} \right) ^{n} =   \left( 1 + \frac{4}{2n-1} \right) ^{n-1/2} \cdot  \left( 1 + \frac{4}{2n-1} \right) ^{1/2}  =  \left( { \left( 1 + \frac{1}{ \left( 2n-1 \right) /4} \right) ^{ \left( 2n-1 \right) /4}} \right) ^2 \cdot \sqrt{ 1 + \frac{4}{2n-1}}

.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 15846
Lokalizacja: Bydgoszcz
Łatwiej będzie z twierdzenia Lagrange'a i twierdzenia o trzech ciągach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 09:10 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Kraków
Poprzednie przekształcenie jest błędne , a poza tym do czego tu potrzebna jest armata ?

\lim_{n \to \infty }\ln \left( 1+ \frac{4}{2n-1} \right)^{ \frac{(2n-1)\cdot n}{2n-1}

= \lim_{n \to \infty }\ln (e^4)^{1/2} = \lim_{ n\to \infty }\ln e^{2}=2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 10:01 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
skąd wziąłeś \lim_{ n\to \infty } \ln (e ^{4} ) ^{ \frac{1}{2} } ? bo nie rozumiem;/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 10:05 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Kraków
A rozumiesz, skąd jest: e^4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 10:10 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
tak, z tego, że \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{a}{n} \right)^n =e ^{a}, ale tam jest \frac{(2n-1) \cdot n}{2n-1}. Jakbyś mógł to jakoś rozpisać ;p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 10:14 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Kraków
Skoro "sztucznie" wprowadziłem wykładnik: 2n - 1 , aby skorzystać z granicy: e,
to teraz istniejący wykładnik n , muszę podzielić przez to samo. Z kolei wykładnik:

\frac{n}{2n - 1} zmierza do:\frac{1}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 10:19 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Ok. Dzięki, już rozumiem ;p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2017, o 01:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 46
Lokalizacja: Haugesund
Belf napisał(a):
Poprzednie przekształcenie jest błędne , a poza tym do czego tu potrzebna jest armata ?


Co jest niby błędne ? Jest poprawne i w dodatku prowadzi do tego samego wyniku.

.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2017, o 06:34 
Użytkownik

Posty: 15846
Lokalizacja: Bydgoszcz
Belf napisał(a):
a poza tym do czego tu potrzebna jest armata ?



Ta armata to do twierdzenia Lagrange'a? Zawsze lubię, jak coś można zrobić ot tak, po prostu...

x(\ln(2x+3)-\ln(2x-1))=x\frac{2x+3-(2x-1)}{\xi}=\frac{4x}{\xi}
gdzie 2x-1<\xi<2x+3

Zatem
2\leftarrow \frac{4x}{2x+3}<x(\ln(2x+3)-\ln(2x-1))<\frac{4x}{2x-1}\rightarrow 2

Poza tym jest uniwersalne: zadziała tu:
\lim_{n\to\infty}(\sqrt[3]{n+4}-\sqrt[3]{n-1})
jak i tu
\lim_{x\to\pi/4}\frac{\cos x-\sin x}{2x-\pi}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica z logarytmem naturalnym - zadanie 3  daro[lo]  3
 granica z logarytmem naturalnym - zadanie 8  michary91  2
 Granica z logarytmem naturalnym - zadanie 9  krystian8207  6
 Granica z logarytmem naturalnym - zadanie 12  IloveMath  7
 Granica z logarytmem naturalnym - zadanie 20  student1543  15
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl