szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Nowy Sącz
1. Wykorzystując zasadę Dirichleta pokaż, że istnieje liczba podzielna przez 131, która w zapisie dziesiętnym składa się z jedynek i następujących po nich zer, tzn. 11...100...0 (przynajmniej jedna ”1” i przynajmniej jedno ”0”).

2. Pokaż, że istnieje liczba podzielna przez 131, która w zapisie dziesiętnym składa się z samych jedynek, tzn. 11...1. (131 jest liczbą pierwszą.)

Znam tę zasadę, ale nie mam koncepcji jak zabrać się za ten problem.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 21:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12435
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Zadanie pierwsze: popatrzmy na liczby 1, \ 11, \ 111, \ldots \overbrace{1\ldots 1}^{132 \text{ jedynki}}
Reszt z dzielenia przez 131 jest tylko 131, więc pewne dwie spośród powyższych liczb dają tę samą resztę z dzielenia przez 131 na mocy zasady szufladkowej, zatem ich różnica dzieli się przez 131. Łatwo widać, że jak odejmiemy mniejszą z nich od większej, to otrzymamy liczbę postaci 11\ldots 100\ldots 0 (co najmniej jedna jedynka i co najmniej jedno zero).

-- 21 lis 2017, o 21:34 --

Zadanie drugie: jak masz już pierwsze, to lajcik, zauważ, że \NWD(10^k, 131)=1 dla każdego k \in \NN^+.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Nowy Sącz
Premislav napisał(a):
\NWD(10^k, 131)=1 dla każdego k \in \NN^+.


Dlaczego?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2017, o 22:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12435
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Każdy (dodatni) dzielnik liczby 10^k jest postaci 2^a 5^b dla pewnych a,b \in \NN (przy czym zero zaliczamy do naturalnych), a 131 nie jest tej postaci i jest liczbą pierwszą.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ile jest dzielnikow liczby  Anonymous  6
 ustawianie osob w rzedzie, liczby n-cyfrowe itp  Anonymous  16
 liczby podzielne  BSD  9
 zasada wlaczania i wylaczania - zadanie 2  BSD  1
 zasada szufladkowa ?  BSD  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl