szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2017, o 23:41 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław
Obliczyć granicę górną i dolną ciągu

(a) a_n=\arctg n \left( \frac{(-1)^{n} \cdot n+1 }{n+2} + 
 \frac{\log_{2}{ (4^{n}+2^{n}) }}{n}\right)

Wyszło mi w a górna \pi , dolna \frac{\pi}{2} aczkolwiek pewnie źle bo wolfram podaje tylko \pi.


(b) \sqrt[n]{ 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lis 2017, o 23:59 
Użytkownik

Posty: 12648
a) \frac{n+1}{n+2} + \frac{\log_2(4^n)}{n}<\frac{n+1}{n+2} + \frac{\log_2(4^n+2^n)}{n}<\frac{n+1}{n+2} + \frac{\log_2(4^n+4^n)}{n} i z trzech ciągów (to dla parzystych n, ale nie chciało mi się pisać 2n zamiast n).
Dla nieparzystych (też zamiast n winno być 2n+1, ale to nic nie zmienia w kwestii granicy):
\frac{1-n}{n+2} + \frac{\log_2(4^n)}{n}<\frac{1-n}{n+2} + \frac{\log_2(4^n+2^n)}{n}<\frac{1-n}{n+2} + \frac{\log_2(4^n+4^n)}{n}

b) 1< \sqrt[n]{1^2+2^2+\ldots+n^2} \le  \sqrt[n]{n\cdot  n^2} =\left( \sqrt[n]{n}\right)^3
i z twierdzenia o trzech ciągach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław
Skąd w przykładzie b bierze sie ograniczenie że 1 < ... ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 12648
1^2+2^2+\ldots+n^2>1^2\\ \sqrt[n]{1^2+2^2+\ldots+n^2}>\sqrt[n]{1^2}=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 22:47 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław
Super, dziękuję. Jeszcze jeden przykład.

(b) \sqrt[n]{ \sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 12648
To idzie dokładnie tak samo, jak poprzednie zadanie. Popatrz, jak możesz zmniejszyć sumę pod pierwiastkiem stopnia n, a jak możesz ją zwiększyć (zobacz, który wyraz pod pierwiastkiem jest największy).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2017, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław
Z lewej ograniczam \sqrt[n]{ \sqrt{1} }, a z prawej \sqrt[n]{n \cdot \sqrt{n}}

Wynik wyszedł 1.

Kolejne:

\sqrt[n]{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + ... +  \frac{n}{n+1}  }

Co należy zrobić tutaj?

-- 23 lis 2017, o 23:49 --

Premislav napisał(a):
To idzie dokładnie tak samo, jak poprzednie zadanie. Popatrz, jak możesz zmniejszyć sumę pod pierwiastkiem stopnia n, a jak możesz ją zwiększyć (zobacz, który wyraz pod pierwiastkiem jest największy).


Ostatni przykład:

\frac{1}{ n^{2}+1 }+ \frac{3}{ n^{2}+3 } + ... + \frac{2n-1}{ n^{2}+(2n-1) }

Z prawej strony ograniczam tak samo jak poprzednie mnożąc ostatni wyraz przez n i licząc granicę, co z ograniczeniem lewostronnym?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2017, o 01:01 
Użytkownik

Posty: 12648
Cytuj:
Z lewej ograniczam \sqrt[n]{ \sqrt{1} }, a z prawej \sqrt[n]{n \cdot \sqrt{n}}

Wynik wyszedł 1.

Jest OK.

\sqrt[n]{ \frac{1}{2} } \le \sqrt[n]{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + ... + \frac{n}{n+1} } \le  \sqrt[n]{\frac{n^2}{n+1}}
i znowu z trzech ciągów.

Ostatni przykład: znowu z trzech ciągów, tym razem zastąpimy mianowniki raz największym mianownikiem (szacowanie z dołu), a raz najmniejszym (szacowanie z góry).
\frac{1+3+\ldots+2n-1}{n^2+2n-1} \le \frac{1}{ n^{2}+1 }+ \frac{3}{ n^{2}+3 } + ... + \frac{2n-1}{ n^{2}+(2n-1) } \le  \frac{1+3+\ldots+2n-1}{n^2+1}
Wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego, trochę prostych przekształceń i wyjdzie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczyć granicę górną i dolną ciągu  azsxd  2
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl