szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2017, o 13:47 
Użytkownik

Posty: 387
Lokalizacja: Kraków
Wzór na pochodną funkcji złożonej typu:

    h(x) = \left[ f(x)\right]^{g(x)}

Przekształcamy tą funkcję do postaci:

    h(x) = \left( e^{\ln \left[f(x) \right]}\right) ^{g(x)}

a następnie do postaci:

    h(x)=e^{g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]

Teraz liczymy pochodną:

    \begin{array}{rl}
h'(x)=&e^{g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]} \cdot \left[ g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right] \right]'=e^{g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]}\cdot \left[ g'(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]+ \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)}\right]=\\=& \left[ f(x)\right]^{g(x)}\cdot \left[ g'(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]+ \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)}\right]
\end{array}

Przykład:

h(x) = x^{x}

h(x) = e^{x\cdot \ln x

h'(x) = e^{x\cdot \ln x}\cdot \left( 1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x} \right)=e^{x\cdot \ln x}\cdot \left( \ln x+1\right)=x^{x}\cdot\left( \ln x+1\right)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2017, o 16:30 
Gość Specjalny

Posty: 5781
Lokalizacja: Toruń
Pochodną funkcji postaci:

    h(x) = \left[ f(x)\right]^{g(x)}

możemy obliczyć również innym sposobem.

Zlogarytmujmy obustronnie powyższą równość. Dostajemy:

    \ln [ h(x) ] = g(x) \ln [f(x)]

Różniczkując powyższą równość dostajemy:

    \frac{1}{h(x)} h'(x) = g'(x) \ln [f(x)] + g(x) \frac{1}{f(x)} f'(x)

czyli:

    h'(x) = h(x) \left[ g'(x) \ln [f(x)] + \frac{g(x) f'(x)}{f(x)} \right]
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 pochodna funkcji złożonej  jawor  1
 pochodna funkcji złożonej - zadanie 2  Fijy  1
 pochodna funkcji złożonej - zadanie 3  ironicx  1
 Pochodna funkcji złożonej - zadanie 4  wrc_fan  3
 Pochodna funkcji złożonej - zadanie 5  rutterkin  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl