szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2017, o 21:23 
Użytkownik

Posty: 57
Lokalizacja: gd
Mam problem z wykazywaniem różnowartościowosci i surjekcji dla funkcji z "podzielona" dziedzina lub dla funkcji w, których występuje wartość bezwzględna.

f(x) =  \begin{cases} -x &\mbox{dla }\left| x \right| \le 1 \\ x^3\hspace{3}&\mbox{dla } \left| x \right| >1 \end{cases}

Różnowartościowość:
Rozważam przedział [-1;1]
weźmy dowolne x_1,x_2 \in [-1;1] takie, że x_1\neq x_2
f(x_1)-f(x_2)=-x_1+x_2 = x_2-x_1 = 0  \Leftrightarrow x_1=x_2 z założenia są różne wiec
f(x_1)-f(x_2)\neq 0  \Rightarrow  f(x_1) \neq f(x_2)

Rozważam przedziay (-\infty;-1)  \cup  (1;\infty)
weźmy dowolne x_1,x_2 \in (-\infty;-1)  \cup  (1;\infty) takie, że x_1\neq x_2
f(x_1)-f(x_2)=x_1^3-x_2^3 = (x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)
drugi nawias jest równy zero wtedy gdy x_1=x_2=0 również jest to wykluczone przez założenie
zatem f(x_1)-f(x_2)\neq 0  \Rightarrow  f(x_1) \neq f(x_2)


funkcja jest różnowartościowa w przedziale [-1;1] gdzie przybiera wartosci [-1;1],
jest też róznowartosciowa w przedziałach (-\infty;-1)  \cup  (1;\infty) gdzie przybiera wartosci (-\infty;-1)  \cup  (1;\infty)
Co dowodzi, że funkcja jest różnowartościowa w całej swojej dziedzine

Czy to jest poprawny sposób?

Jak wykazać, że ta funkcja jest na?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2017, o 21:44 
Użytkownik

Posty: 13546
Lokalizacja: Bydgoszcz
To nie wystarczy. Przecież funkcja na jednym kawałku może przybierać takie same wartości jak na innym (tu akurat tak nie jest, ale sie trzeba jednak troche pobawić)

b) trzeba pokazac, że dla każdego y\in\RR znajdziesz x takie, że y=f(x). Spróbuj sobie narysować te funkcję. Zobaczysz wtedy, że to wcale nietrudne
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2017, o 21:48 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
a4karo napisał(a):
To nie wystarczy. Przecież funkcja na jednym kawałku może przybierać takie same wartości jak na innym (tu akurat tak nie jest, ale sie trzeba jednak troche pobawić)

Jeśli połączymy informację o tym, że jest różnowartościowa na kawałkach z informacją, jakie przybiera na tych kawałkach wartości, to wystarczy. Problem polega na tym, że w żaden sposób nie zostało uzasadnione, dlaczego

gutok napisał(a):
w przedziale [-1;1] gdzie przybiera wartosci [-1;1],
(...)
w przedziałach (-\infty;-1)  \cup  (1;\infty) gdzie przybiera wartosci (-\infty;-1)  \cup  (1;\infty)

(co nawiasem mówiąc wiąże się z pokazaniem, że funkcja jest "na"...).

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lis 2017, o 22:54 
Użytkownik

Posty: 57
Lokalizacja: gd
Cytuj:
Jeśli połączymy informację o tym, że jest różnowartościowa na kawałkach z informacją, jakie przybiera na tych kawałkach wartości, to wystarczy. Problem polega na tym, że w żaden sposób nie zostało uzasadnione, dlaczego


Uzasadnic zbiór wartości funkcji hmm
Moge powołać się na to, że funkcja f w przedziałach (-\infty;-1)  \cup  (1;\infty) jest funkcją ściśle monotoniczną, rosnącą. oraz \lim_{x \to1^+ } = 1 i \lim_{x \to-1^- } = -1
Nie wiem, czy o to chodzi, jeśli mógłbyś Jan Kraszewski Napisać jak powinno to poprawnie wyglądać to byłbym wdzięczny.

Surjekcja:
Dla dowolnego y \in [-1;1] istnieje taki x, że x=-y
oraz dla dowolnego y \in (-\infty;-1)  \cup  (1;\infty) istnieje taki x, że x=\sqrt[3]{y}
Zatem dla dowolnego y \in \RR istnieje taki x, że x = \begin{cases} -y  &\mbox{dla }\left| y \right| \le 1 \\ \sqrt[3]{y}\hspace{3}&\mbox{dla } \left| y \right| >1 \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 00:30 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
gutok napisał(a):
Moge powołać się na to, że funkcja f w przedziałach (-\infty;-1)  \cup  (1;\infty) jest funkcją ściśle monotoniczną, rosnącą. oraz \lim_{x \to1^+ } = 1 i \lim_{x \to-1^- } = -1

To oczywiście za mało. :)
Bez powołanie się na ciągłość nie pójdzie... Poza tym zapomniałeś o granicach w nieskończonościach, a to, że funkcja jest ściśle rosnąca też trzeba uzasadnić... No i to tylko jeden przypadek.

gutok napisał(a):
Nie wiem, czy o to chodzi, jeśli mógłbyś Jan Kraszewski Napisać jak powinno to poprawnie wyglądać to byłbym wdzięczny.

Do pokazania, że funkcja jest różnowartościowa wystarczyłoby np. dodanie do Twojego uzasadnienia o "różnowartościowości kawałkami" przypadku, gdy |x_1|\le 1 i |x_2|>1.

gutok napisał(a):
Surjekcja:
Dla dowolnego y \in [-1;1] istnieje taki x, że x=-y
oraz dla dowolnego y \in (-\infty;-1)  \cup  (1;\infty) istnieje taki x, że x=\sqrt[3]{y}
Zatem dla dowolnego y \in \RR istnieje taki x, że x = \begin{cases} -y  &\mbox{dla }\left| y \right| \le 1 \\ \sqrt[3]{y}\hspace{3}&\mbox{dla } \left| y \right| >1 \end{cases}

OK, ale wypadałoby sprawdzić za każdym razem, że dla wskazanego x zachodzi f(x)=y.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kiedy potrzebne jest wyznaczanie dziedziny ?  mateo19851  4
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl