szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 08:56 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Warszawa
Zbadać ograniczoność ciągu z definicji:

a_n= \frac{2^n}{n^2}

Wiem, że ciąg jest rozbieżny, w związku z czym nie jest ograniczony. Jednak nie potrafię zrobić tego z definicji. Moje próby:

\frac{2^n}{n^2} > M \\[2ex]
\log_2 (2^n) - 2 \log_2 n > \log_2 M \\[2ex]
n - 2 \log_2 n > \log_2 M

Docelowo należy uzyskać:
n>\text{coś tam bez } n

Proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 12:25 
Moderator

Posty: 2043
Lokalizacja: Trzebiatów
Dla n  \ge 16 mamy 2^{n}  \ge n^{4}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 12:33 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki za odpowiedź, ale dalej nie rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 12:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Czego nie rozumiesz?
Udowodnij indukcyjnie nierówność, którą napisał Zahion, po czym szacuj dalej z jej użyciem.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 14:46 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Warszawa
Rozumiem, że po dowodzie:

2^n  \ge  n^4 \\
a_{n}=2^n/n^2  \ge n^2

Czy to dowodzi, że ciąg nie jest ograniczony? Bo nie do końca rozumiem. Mam też problem z tym dowodem indukcyjnym, nie mam pomysłu jak to szacować.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 14:58 
Moderator

Posty: 2043
Lokalizacja: Trzebiatów
Masz pokazać, że dla dowolnego M > 0 istnieje takie n_{o}, że a_{n_{o}} > M. Zastosuj nierówność, którą napisałem np. dla n_{o} = M + 16 i sprawdz czy rzeczywiście wtedy a_{n_{o}} > M.
Drugi krok indukcyjny to 2n^{4}  \ge  \left( n+1\right)^{4}  \Rightarrow 2  \ge  \left( \frac{n+1}{n}\right)^{4}. Ciąg z prawej strony jest malejący, ponadto dla n = 16 mamy \frac{17^{4}}{16^{4}} =  \frac{289^{2}}{256^{2}} < \frac{320^{2}}{256^{2}} =  \frac{25}{16} < 2. Inne kwestie dokończ sama.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 15:33 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Warszawa
a _{n_{0}}= \frac{2^{n_{0} }}{(n_{0})^2}  \ge (n_{0})^2=(M+16)^2 >M

I rozumiem, że za a_{n_{0}} możemy przyjąć dowolną liczbę większą od M, aby powyższa nierówność ostra była spełniona, np. 16, tak?

Co do indukcji to ja wyszłam w 2. kroku z taką implikacją:

2^n  \ge n^4  \Rightarrow 2^{n+1}  \ge (n+1)^4 i szczerze mówiąc nie widzę jak uzyskałeś Twoją implikację:

2n^4  \ge (n+1)^4  \Rightarrow 2  \ge  \left( \frac{n+1}{n}\right)^4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 15:41 
Moderator

Posty: 2043
Lokalizacja: Trzebiatów
Nierówność \left( M + 16 \right)^{2} > M jest spełniona dla dowolnej liczby M > 0. Jest ona równoważna postaci M^{2} + 31M + 256 > 0, a to oczywiście jest prawdą. Tym samym wykazaliśmy, że dla dowolnego n_{o} = M + 16 zachodzi a_{n_{o}} > M, co chcieliśmy pokazać.

2^{n+1} = 2^{n} \cdot 2  \ge n^{4} \cdot 2 = 2n^{4}. Korzystamy z założenia indukcyjnego, które zapisałaś. Wystarczy więc udowodnić, że dla n  \ge 16 zachodzi 2n^{4}  \ge \left( n + 1 \right)^{4}, a to właśnie zrobiłem powyżej. Skoro dla n  \ge 16 zachodzi 2n^{4}  \ge \left( n + 1\right)^{4} to mamy 2^{n+1}  \ge 2n^{4}  \ge \left( n + 1\right)^{4}, co chcieliśmy pokazać.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 16:46 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Warszawa
Ale chodzi mi o to, że za n_{0} możemy wziąć dowolną liczbę większą od \frac{1}{4} , np. 16, tak? Czyli dla danego M bierzemy wyraz ciągu dla n=M+\mbox{coś większego od }  \frac{1}{4} i ten wyraz będzie większy od M, tak?

Dzięki, faktycznie, teraz widzę to przejście w indukcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 16:54 
Moderator

Posty: 2043
Lokalizacja: Trzebiatów
Rzeczywiście powinienem uszczegółowić i wziąć n_{o} = \left[ M \right] + 16, jako, że działamy na ciągach. Nie wiem skąd liczba 1 / 4, możemy wziąć na pewno liczbę n_{o} = \left[ M \right] + k, gdzie k  \ge 16 i k  \in C. Liczba 16 jest o tyle graniczna, że wtedy wiemy, iż Nasza nierówność, którą dowodziliśmy indukcją działa ponieważ \left[ M \right] + 16  \ge 16.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 lis 2017, o 17:44 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Warszawa
Nie wiem, cos źle skombinowałam z tą \frac{1}{4}, nie wiem co ja zrobiłam. Założenie, żeby mieć pewność o możliwosć zastosowania twierdzenia z indukcji ma sens. Dzięki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciąg określony wzorem rekurencyjnym - zadanie 3  LuckyLuke  1
 Zbadaj, czy ciag jest ograniczony  Adaśko  1
 ciąg jest zbieżny  Renegat  3
 Ciąg an ma granicę równą 1, obl. na podst tego/ sin, cos  Franginha  6
 Ciąg geometryczny- podstawa- zadania  Warlok20  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl