szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2017, o 14:07 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Kraków
Pokazac, ze nastepujace ciagi sa rozbiezne :

a_{n}=  (2-4\cos n) n^{2}


a_{n}= \frac{(3+\sin (3 ^{n}))n^{4} }{n^{3}-1}


W pierwszym przykładzie ogranicając cosn przez 1 i -1 zauważyłem że rozbiega do \infty oraz -\infty jednak nie wiem jak matematycznie uzasadnić ten fakt .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2017, o 14:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1486
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
W pierwszym przykładzie ogranicając cosn przez 1 i -1 zauważyłem że rozbiega do \infty oraz -\infty jednak nie wiem jak matematycznie uzasadnić ten fakt.

To nie wystarczy ponieważ ograniczenie czegoś przez - \infty i \infty nic nie daje.
Można zamiast tego rozpatrzeć 2 zbiory takie że:

A=\left\{ n:n\in\NN \wedge  (2-4\cos n) \le -1\right\}

B=\left\{ n:n\in\NN \wedge  (2-4\cos n) \ge 1\right\}

W każdym z tych zbiorów znajduje się nieskończenie wiele elementów a_i\in A i b_i\in B

Widać teraz że można ich użyć jako podciągów dla jakich granica \lim_{n \to  \infty }(2-4\cos n) n^{2} będzie dawała równe wyniki.

\lim_{n \to  \infty }(2-4\cos a_n) a_n^{2}=- \infty

\lim_{n \to  \infty }(2-4\cos b_n) b_n^{2}= \infty


A co do \lim_{n \to  \infty }\frac{(3+\sin (3 ^{n}))n^{4} }{n^{3}-1} to wystarczy oszacować z dołu przez \frac{2n^4}{n^3-1} \rightarrow  \infty i korzystając z 2 ciągów podać wynik.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2017, o 18:52 
Użytkownik

Posty: 15369
Lokalizacja: Bydgoszcz
Janusz Tracz napisał(a):
Cytuj:
W pierwszym przykładzie ogranicając cosn przez 1 i -1 zauważyłem że rozbiega do \infty oraz -\infty jednak nie wiem jak matematycznie uzasadnić ten fakt.

To nie wystarczy ponieważ ograniczenie czegoś przez - \infty i \infty nic nie daje.
Można zamiast tego rozpatrzeć 2 zbiory takie że:

A=\left\{ n:n\in\NN \wedge  (2-4\cos n) \le -1\right\}

B=\left\{ n:n\in\NN \wedge  (2-4\cos n) \ge 1\right\}

W każdym z tych zbiorów znajduje się nieskończenie wiele elementów a_i\in A i b_i\in B



Ten argument wymaga uzasadnienia i nie jest ono banalne
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2017, o 20:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1486
Lokalizacja: hrubielowo
(2-4\cos n) \le -1 jest równoważne z \cos n \ge  \frac{3}{4}.
A to można zapisać jako 2\pi k-\arccos \left( \frac{3}{4} \right)  \le n \le 2\pi k+\arccos \left( \frac{3}{4} \right)
Ponieważ długość tego przedziału wynosi 2\arccos \left( \frac{3}{4}\right) i jest to liczba większa od 1 to w przedziale znajdzie się zawsze jakaś liczba naturalna.

Analogicznie (2-4\cos n) \ge 1 z tego mamy że \cos n \le  \frac{1}{4} czyli
2\pi k-\arccos \left( \frac{1}{4} \right)  \le n \le 2\pi k+\arccos \left( \frac{1}{4} \right)
A długość tego przedziału to 2\arccos \left( \frac{1}{4}\right) co jest również większe od 1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciągi ograniczone - zadanie 2  domin8  1
 Ciągi - monotoniczność  kowal_pok  0
 granica ciagu pokazac wlasnosc  waliant  3
 Ciągi liczbowe - zadanie 9  konigin  1
 Zbadać ciągi.  Wierzba  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl