szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2017, o 10:19 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Kraków
Witam serdecznie, bardzo prosiłbym o rozwiązanie podanych granic, nie powinny być jednolite i żmudne w znaczeniu rozwiązywania , garść powtórzeniowych granic z jednego z zestawów gdzie pojawiło się liczenie granic za pomocą mnożenia przez sprzężenie, twierdzenia o trzech ciągach, i ze stałą e oraz prostsze, niestety wydają się trudniejsze od reszty i nie łatwo mi ugryźć te niżej wymienione, co do (b_n), (f_n) może wydawać się śmieszne, .
Policzyć granice ciągu , jeśli :

a _{n}=\left(  \left(  \frac{2}{3}  \right)^{n} + \left(  \frac{4}{5} \right) ^{n} + \left(   \frac{11}{13}  \right) ^{n}   \right)\sin\left( 2n\right)\\
\\
\\
\\
b_{n}=\frac{1+2+...+n}{n^{2}} \sqrt[n]{5 ^{n}+6 ^{n}+7 ^{n}   } 
\\
\\
\\
c_{n}= \frac{\sin ^{2} \frac{1}{n}   }{\arctg \sqrt{n} }
\\
\\
\\
d_{n}= \sqrt[n]{3 ^{n}+  5^{n}  }+ \frac{2 ^{n}+ 3^{2n}  }{n!}
\\
\\
\\
e_{n}=\ln\left(  \frac{1}{n}\sin\frac{1}{n}  \right)
\\
\\
\\
f_{n}=  \sqrt[n]{3 ^{n}+4 ^{n}+ 5^{n}}+ \frac{3 ^{n+1}+ 4^{n} }{ 2^{n}+4 ^{n+2}  }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2017, o 10:25 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
My wiemy jak te granice liczyć. Ty powinieneś wykazać się tą umiejętnośćią. Pokaż zatem swoje próby i sprawdzimy, czy poprawnie rozumujesz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2017, o 10:33 
Użytkownik

Posty: 409
Lokalizacja: Kraków
Wskazówka do przykładu: b_n

\frac{1+2+3+...n}{n^2}= \frac{ \frac{1+n}{2}\cdot n }{n^2} = \frac{n+n^2}{2n^2}

\sqrt[n]{7^n} \le  \sqrt[n]{5^n+6^n+7^n}  \le  \sqrt[n]{3\cdot 7^n}

i twierdzenie o trzech ciagach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2017, o 10:41 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
Podpowiedź:

\sqrt[n]{5^n + 6^n + 7^n} i podobne robi się z trzech ciągów:

\sqrt[n]{7^n}\le \sqrt[n]{5^n + 6^n + 7^n} \le \sqrt[n]{7^n + 7^n + 7^n}

No i pamiętaj o twierdzeniu o sumie/różnicy/iloczynie/ilorazie granic, rozwiązując na przykład b_n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2017, o 10:53 
Użytkownik

Posty: 409
Lokalizacja: Kraków
Wskazówka do: e_n

Niech:t =  \frac{1}{n}

n \rightarrow  \infty  \Rightarrow t \rightarrow 0

Mamy: \lim_{t \to0} \ln(t\cdot \sin t)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2017, o 11:09 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Kraków
a_{n} Już załapałem że mogę zamienić \sin\left( 2n\right) na -1 za pomocą tw. o trzech ciągach ograniczając z dołu co wiele nie zmieni bo granica wyjdzie 0, nie wiem dlaczego wcześniej sobie umyślałem że będzie -\infty czyli inaczej niż w ograniczeniu z góry


Dla c_{n} Tutaj nie wiem jak ruszyć, czy zamienić \arctg z jakiegoś wzoru f. cyklometrycznych, czy obliczyć z tw. o trzech ciągach .


Dla d_{n}= \sqrt[n]{3 ^{n}+  5^{n}  }+ \frac{2 ^{n}+ 3^{2n}  }{n!}= 5 \sqrt[n]{ \left( \frac{3}{5}\right) ^{n}+1   } + \frac{2 ^{n}+ 3^{2n}  }{n!}


Jednak nie wiem co zrobić z silnią

Belf napisał(a):

Wskazówka do: e_n

Niech:t =  \frac{1}{n}

n \rightarrow  \infty  \Rightarrow t \rightarrow 0

Mamy: \lim_{t \to0} \ln(t\cdot \sin t)


Dałoby się rozwiązać bez podstawiania t ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2017, o 11:17 
Użytkownik

Posty: 409
Lokalizacja: Kraków
Wskazówka do: f_n

Granica pierwiastka analogicznie do poprzednich , natomiast ułamek po podzieleniu licznika i mianiwnika przez:4^nwyglada tak:
\frac{3( \frac{3}{4})^n + 1 }{( \frac{1}{2})^n + 2 }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2017, o 11:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
c_{n}:
0< \frac{\sin ^{2} \frac{1}{n} }{\arctg \sqrt{n} } \le \frac{1}{n^2}
dla dostatecznie dużych n,
gdyż:
1) dla x>0 mamy \sin x\le x (znana nierówność);
2) ponieważ \lim_{x \to  \infty } \arctan x=\frac \pi 2>1, więc także
\lim_{n \to  \infty }\arctan \sqrt{n}=\frac \pi 2, a w związku z tym dla dostatecznie dużych n\in \NN mamy \arctan \sqrt{n}>1, czyli \frac{1}{\arctan \sqrt{n}}<1

Co do d_n, dla dowolnej stałej x\in \RR masz
\lim_{n \to  \infty  } \frac{x^n}{n!}=0, wykorzystaj to i twierdzenie o arytmetyce granic.

-- 29 lis 2017, o 12:20 --

Ogólnie taki użyteczny fakt: jeśli (a_n) jest ciągiem o wyrazach dodatnich i
\lim_{n \to  \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}}=0, to \lim_{n \to  \infty } a_n=0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2017, o 11:23 
Użytkownik

Posty: 378
Lokalizacja: Warszawa
a_ni c_n:
Ja bym skorzystał z faktu: granica ciągu ograniczonego \cdot 0 = 0

Ale pewnie zbyt piękne, żeby było prawdziwe.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Policzyć granicę ciągu  peterp  2
 policzyc granice ciagu - zadanie 2  miecznik  5
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl