szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 14:38 
Użytkownik

Posty: 9
Dzień dobry.

Mam za zadanie ustalić, czy ciąg jest zbieżny, a jeśli tak, to jaką ma granicę.
Poniżej zamieszczam wykonane przeze mnie przekształcenia.

\lim_{n \to \infty } \left(   \frac{2n - 5}{3 - 2n}\right) ^{2n+3} = \lim_{n \to \infty }\left( \left( \frac{2n}{-2n} \right)^{2n+3}  \cdot  \left(   \frac{1 +  \frac{1}{ \frac{-2n}{5} } }{1 +  \frac{1}{ \frac{-2n}{3} } }\right) ^{2n+3}\right)  = \lim_{n \to \infty }\left( \left(-1\right)^{2n+3}  \cdot  \frac{e ^{- \frac{5}{2n}  \cdot (2n + 3)} }{e^{- \frac{3}{2n}  \cdot (2n+3)}}  \right) =  \lim_{n \to \infty }\left( \left(-1\right)^{2n+3}  \cdot  e  ^{ \frac{10n+15}{6n+9} }\right) =  \lim_{n \to \infty }\left( \left(-1\right)^{2n+3}  \cdot  e  ^{ \frac{10+ \frac{15}{n} }{6+ \frac{9}{n}} }\right) = -1  \cdot e ^{ \frac{10}{6} } = -e ^{ \frac{10}{6} }

Sprawdzałem jednak na wolframie i według niego granica tego ciągu dla n \to infty nie istnieje.
Byłbym wdzięczny gdyby ktoś powiedział mi gdzie popełniłem błąd w przekształceniach.

Dziękuję za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 14:52 
Użytkownik

Posty: 400
Lokalizacja: Kraków
Możemy tą granicę zapisać tak:

\lim_{ n\to\infty } \left( - \frac{2n-5}{2n-3} \right) ^{2n+3}= \lim_{ n\to\infty } \left( -1 \right) ^{2n+3}\cdot \left(  \frac{2n-5}{2n-3} \right) ^{2n+3}

Granica pierwszego czynnika to: -1.Policz zatem granicę drugiego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 14:56 
Użytkownik

Posty: 9
Po czym widać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 14:57 
Administrator

Posty: 22967
Lokalizacja: Wrocław
Pomijając rachunki, obaj robicie podstawowy błąd formalny - nie można przechodzić do granicy po kawałku.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 14:59 
Użytkownik

Posty: 400
Lokalizacja: Kraków
Słuszna uwaga. Właśnie miałem edytować, ale nie miałem możliwości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 15:08 
Użytkownik

Posty: 9
Nie jest tak, że \lim_{n \to \infty  } (-1) ^{2(n+1) + 1} = -1,
bo 2(n+1) + 1 jest nieparzyste? (jest to ciąg, więc n jest liczbą naturalną).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 15:12 
Użytkownik

Posty: 400
Lokalizacja: Kraków
Jacke32 napisał(a):
Nie jest tak, że \lim_{n \to \infty  } (-1) ^{2(n+1) + 1} = -1,
bo 2(n+1) + 1 jest nieparzyste? (jest to ciąg, więc n jest liczbą naturalną).


Masz rację, jest zawsze nieparzysty. Zatem policz granicę drugiego czynnika i wynik pomnóż przez -1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 15:23 
Użytkownik

Posty: 9
Zrobiłem tak przecież na samym początku i chciałem wiedzieć, czy to jest dobrze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 15:39 
Użytkownik

Posty: 400
Lokalizacja: Kraków
Co do granicy drugiego czynnika:

\lim_{n \to  \infty  }\left[  \left( 1+ \frac{-2}{2n-3} \right) ^{2n-3} \right]^{ \frac{2n+3}{2n-3}}=e^{-2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy ciąg jest zbieżny?  Bacior  2
 Czy ciąg jest zbieżny? - zadanie 2  jj8  2
 Kiedy szereg jest zbieżny ? - zadanie 2  Anonymous  3
 Kiedy szereg jest zbieżny ?  Margaretta  2
 Udowodnij, że ciąg jest nieograniczony z dołu  deny  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl