szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 22:19 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
Witam,
jak najłatwiej pokazać zwartość zbioru O\left( A\right), gdzie A \subseteq \RR \times \left\{ 0\right\} jest zbiorem zwartym takiego, oraz:

O\left( a,b\right) jest okręgiem takim, że odcinek o końcach a,b \in \RR \times \left\{ 0 \right\} jest jego średnicą.
O\left( A\right) = A \cup \bigcup \left\{ O(a, b) :a, b \in A, a \neq b\right\}


Czyli zbior ten jest sumą okręgów o srednicach "ze zbioru" A.
Nie mam za bardzo pomysłu.

jestesmy w topologii euklidesowej
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 30 lis 2017, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 15845
Lokalizacja: Bydgoszcz
Weż ciąg punktów z_n\in O(A). Każdy z tych punktów zidentyfikuj przez trójkę liczb (a_n,b_n,y_n), gdzie z_n\in O(a_n,b_n), a y_n jest jego drugą współrzęną.
Wbierz zbieżny podciąg ciągu a_n, z odpowiadającego mu podciągu b_n wybierz zbieżny, a potem pokaż, że z tego podciągu da się wybrać zbieżny podciąg y_n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 22:54 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
Co z faktem, że z_{n} może należeć do niejednego z okręgów, a np. kilku (w skrajnym przypadku do nieskończenie wielu).
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 30 lis 2017, o 23:06 
Użytkownik

Posty: 15845
Lokalizacja: Bydgoszcz
I w czym to przeszkadza?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 23:14 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
No póki co to nic..
Ok. Wiem, ze mogę wziąć taki ciąg \left\{ m_k\right\} \subset N, że a_{m_{k}} \rightarrow a, dla pewnego a \in A, oraz b_{m_{k}} \rightarrow b, dla pewnego b \in A.

Prawdopodobnie, y_{m_{k}} zawiera podciąg dążący do granicy leżącej między a i b, ale nie wiem jak dalej to ruszyć.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 30 lis 2017, o 23:26 
Użytkownik

Posty: 15845
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ta granica y_{m_k}nie leży między a i b. Pomyśl. A potem pokaż, że y\in O(a,b)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 23:36 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
Ale y_{m_k} jest drugą współrzędną punktu z_n\in O(A), więc druga współrzędna musi leżeć między a i b. To granica z_n musi leżeć na okręgu y\in O(a,b), jeśli istnieje.

No i właściwie to byłby argument, y_{m_k} leży zawsze pomiędzy a_{m_k} i b_{m_k}, gdyby a=b, to sprawa jest prosta. Jednak co w tym wypadku? Gdyby y_n nie był zbieży, to miałby nieskonczenie wiele elementów na okręgu O(a,b), a okgrąg jest zwarty, więc ma podciąg zbieżny leżący na tym okręgu?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 gru 2017, o 06:16 
Użytkownik

Posty: 15845
Lokalizacja: Bydgoszcz
Średnicą okręgu O(2017,2019) jest odcinek [2017,2019] jego środek to (2018,0) a promień ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2017, o 08:10 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
No promień to np. odcinek \left( (2018,0),(2019,0)\right).
Rzeczywiście, druga współrzędna nie leży między a i b, tylko między \left( (0,-r),(0,r)\right).
Jako, że istnieje maksymalny okrąg, bo A jest ograniczony, to druga współrzędna jest ograniczona, więc istnieje podciąg drugich współrzędnych zbieżny.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 gru 2017, o 09:47 
Użytkownik

Posty: 15845
Lokalizacja: Bydgoszcz
To za słaby argument, bo granicą może być liczba większą niż promień O(a, b).

Musisz pokazać, że to jest wykluczone.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2017, o 11:10 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
Czy możemy ograniczyć z_n przez ciąg-\frac{a_n-b_n}{2} \le z_n  \le \frac{a_n-b_n}{2}, gdzie ciągi w nierówności zawierają ciagi zbieżne, więc granica podciągu z_b leży na pewno między liczbami (lub równe) -\frac{a-b}{2} oraz \frac{a-b}{2}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 gru 2017, o 11:44 
Użytkownik

Posty: 15845
Lokalizacja: Bydgoszcz
ok. Jeszcze trzeba pokazać, że leży na kole (bo na razie tylko masz, że leży na kole lub we wnętrzu)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2017, o 12:10 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
argument podobny do poprzedniego, tylko że z pierwszą współrzędną x_n, która leży zawsze tak a_n \le x_n \le b_n o
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 gru 2017, o 12:48 
Użytkownik

Posty: 15845
Lokalizacja: Bydgoszcz
To weź i napisz ten argument. Gdzieś przyda się fakt, że z_n-y a na okręgu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 gru 2017, o 13:06 
Użytkownik

Posty: 88
Lokalizacja: Warszawa
no to druga współrzędna x_n ma podciąg zbieżny dox taki, że a \le x \le b , bo x_n jest ograniczony i a_n \le x_n \le b_n. Jednak to nie daje mi żadnej informacji o tym, czy punkt z_n leży na okręgu, czy tez nie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnić zwartość przestrzeni  leszczu450  12
 Badanie wypukłości zbioru  r4fall  4
 Domknięcia zbioru w metryce supremum  lukabesoin  1
 Domknięcie zbioru liczb wymiernych  derm  7
 Dopełnienie, wnętrze brzeg domknięcia zbioru A  adi1910  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl