szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 23:19 
Użytkownik

Posty: 1948
Lokalizacja: Kraków
Niech Z_0=\NN,Z_1=\left\{ 0\right\} \cup \left\{  \frac{1}{i}:i=1,2,.... \right\},Z_2=Z_1 \cup \NN,Z_3=\left\{ 0\right\} \cup \left\{  \frac{1}{i}+ \frac{1}{j}:i,j=2,3,....  \frac{1}{j}< \frac{1}{i-1}- \frac{1}{i}     \right\}. Pokazać, że żadne dwie spośród tych podprzestrzeni Z_0,Z_1,Z_2,Z_3 nie są homeomorficzne. Wskazówka: Sprawdzić, że przy homeomorfiźmie punkty izolowane przechodzą na punkty izolowane.

No dobra to Z_0,Z_1 to wiem, że punkt zero jest nieizolowany w drugiej z tych podprzestrzeni, a w pierwszej jest izolowany, a żeby był homo to musi być inaczej. Ale jak na przykład Z_1,Z_2 to nie wiem. Ktoś coś?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 23:27 
Użytkownik

Posty: 15818
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ciągi zbieżne przechodzą na ciągi zbieżne...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2017, o 23:29 
Użytkownik

Posty: 1948
Lokalizacja: Kraków
Aha, że naturalne dążą do nieskończoności, a w tej drugiej przestrzeni wszystkie ciągi są zbieżne do zera ta?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2017, o 13:09 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7978
Lokalizacja: Wrocław
max123321 napisał(a):
No dobra to Z_0,Z_1 to wiem, że punkt zero jest nieizolowany w drugiej z tych podprzestrzeni, a w pierwszej jest izolowany, a żeby był homo to musi być inaczej.
Niedokładnie. Fakt, że 0 jest izolowany w Z_1 i nieizolowany w Z_0 oznacza tylko tyle, że nie istnieje homeomorfizm f : Z_1 \to Z_0, taki że f(0) = 0. Ale potencjalnie mogą istnieć homeomorfizmy niespełniające tego warunku.

Powinno być: załóżmy, że istnieje homeomorfizm f : Z_1 \to Z_0. Wtedy skoro 0 jest nieizolowany w Z_1, to f(0) jest nieizolowany w Z_0, a nieizolowanego punktu w Z_0 nie ma - sprzeczność.

Podobnie dowodzimy, że Z_0 nie jest homeomorficzna z żadną z pozostałych przestrzeni, bo każda z nich ma punkt nieizolowany, a Z_0 nie.

Niehomeomorficzność Z_1 i Z_2 można pokazać na przykład tak: załóżmy, że istnieje homeomorfizm f : Z_1 \to Z_2. W obu przestrzeniach 0 jest jedynym punktem nieizolowanym, zatem f(0) = 0. Teraz: w Z_1 każde otwarte otoczenie zera ma skończone dopełnienie, a w Z_2 istnieje otwarte otoczenie f(0) = 0, którego dopełnienie jest nieskończone. Ale homeomorfizm powinien zachowywać taką własność, co prowadzi do sprzeczności.

Alternatywnie można stwierdzić, że Z_2 nie jest zwarta, co od razu daje brak homeomorfizmu Z_1 \to Z_2 oraz Z_2 \to Z_3, bo Z_1 i Z_3 są zwarte.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 metryki i homeomorfizmy  Dominia  4
 Homeomorfizmy i zwartość  Arytmetyk  3
 homeomorfizmy prostej R  piotrek20008  3
 odwzorowania ciągłe homeomorfizmy  doly  4
 Homeomorfizmy i implikacja odwrotna.  esserpmi  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl