szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2017, o 16:42 
Użytkownik

Posty: 321
Lokalizacja: Warszawa
Mam pytanie odnośnie hiperboli, przytoczę treść zadania - będzie mi łatwiej. :D

Wykazać, że styczna do hiperboli równoosiowej xy=C ogranicza z osiami współrzędnych trójkąt o stałym polu.

Na Wikipedii https://pl.wikipedia.org/wiki/Hiperbola_(matematyka) jest taka definicja hiperboli.
Jak przejść z tej postaci do tej co mamy w zadaniu. Ja doszedłem tylko do czegoś takiego:

\frac{x^{2}-y^{2}}{a^{2}}=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2017, o 17:02 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
Musiałbyś dokonać obrotu układu współrzędnych, ale nie ma takiej potrzeby – zadanie można rozwiązać bez tego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2017, o 20:10 
Użytkownik

Posty: 3773
Znajdujemy równanie stycznej do hiperboli równoosiowej o równaniu y = \frac{C}{x} w dowolnie ustalonym punkcie ( p,  q).

y = a\cdot  x + b (1)

Współczynnik kierunkowy a tej stycznej jest równy pochodnej pierwszego rzędu

a = \left( \frac{C}{x}\right)' = -\frac{C}{x^2} (2)

Podstawiając współrzędne punktu (p, q) do równania (1), znajdujemy wartość współczynnika b.

q = -\frac{C}{p^2}+ b.

Stąd

b = q + \frac{C}{p^2} (3)

Na podstawie (3) i (1)

Styczna do hiperboli w punkcie (p, q ) ma równanie:

y = -\frac{C}{p^2}\cdot x +q +\frac{C}{p^2}.

Znajdujemy współrzędne przecięcia się stycznej z osiami prostokątnego układu współrzędnych:

Z osią Ox:  0 = -\frac{C}{p^2}\cdot x_{0} + q + \frac{C}{p^2}


x_{0}= \frac{p^2\cdot q }{C}+1 .

Z osią Oy: \ \ y_{0} =  -\frac{C}{p^2}\cdot 0 +q +\frac{C}{p^2}

y_{0}= q + \frac{C}{p^2}

Pole trójkąta

|S| = \frac{1}{2}|x_{0}\cdot y_{0}|.

|S|= \frac{1}{2}\left|  \left(\frac{p^2\cdot q }{C}+1\right)\cdot\left(q + \frac{C}{p^2}\right)\right| = const.

c.b.d.o.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2017, o 22:30 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
janusz47 napisał(a):
|S|= \frac{1}{2}\left|  \left(\frac{p^2\cdot q }{C}+1\right)\cdot\left(q + \frac{C}{p^2}\right)\right| {\red{= const}}
To nie jest prawdą! Wystarczy podstawić q=\frac{C}{p} i sprawdzić.

Moje rozwiązanie:

Prosta styczna do hiperboli w punkcie \left(p,\frac{C}{p}\right) ma równanie:

    y=-\frac{C}{p^2}x+\frac{2C}{p}

Przecina ona oś 0x w punkcie x_0=2p . Stąd pole trójkąta o którym mowa w temacie zadania jest równe:

    S=\left|\frac{1}{2}\cdot2p\cdot\frac{2C}{p}\right|=\left|2C\right|=\text{const}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2017, o 23:59 
Użytkownik

Posty: 3773
195692.htm (*)

Kwestia wprowadzonych oznaczeń. Czy pole zależy od (x, y)?

Czy równanie hiperboli musi spełniać równanie pola trójkata?

Czy tu (*) spełnia?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 04:39 
Moderator

Posty: 4299
Lokalizacja: Kraków PL
janusz47 napisał(a):
Czy równanie hiperboli musi spełniać równanie pola trójkąta?
Nie rozumiem co to znaczy: jedno równanie spełnia drugie równanie. Równania spełniają liczby, które podstawione doń czynią z niego równość prawdziwą, a nie inne równania.

W zadaniu 195692.htm pole trójkąta jest równe 2C, czyli nie zależy od x_0 (tamte oznaczenie), odciętej punktu \left(x_0,\frac{C}{x_0}\right) , przez który poprowadzono styczną do hiperboli.

Natomiast w Twoim rozwiązaniu po podstawieniu q=\frac{C}{p} otrzymujemy wyrażenie:

    \left|\frac{(p+1)\cdot(pC+C)}{2p^2}\right|\neq\text{const}

Zmienne, bo zależy od p .

janusz47 napisał(a):
y = -\frac{C}{p^2}\cdot x +q +\frac{C}{p^2}
Tu zrobiłeś błąd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 08:51 
Użytkownik

Posty: 321
Lokalizacja: Warszawa
Ogólnie umiałem to zadanie zrobić, ale dzięki za zaangażowanie. :D
Chodziło mi tylko o to, że hiperbola w zadaniu i na Wikipedii mają różne równania i o to tylko się pytałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 09:04 
Użytkownik

Posty: 5931
Lokalizacja: Staszów
W geometrii współrzędne mają miary długości, stąd pola są w "kwadratach długości ", objętości w ich "sześcianach".
Jeżeli zauważyć, że w równaniu tej hiperboli C ma miarę powierzchni, to równanie stycznej do hiperboli w punkcie (p,q)
y = -\frac{C}{p^2}\cdot x +q +\frac{C}{p^2}.
jest wymiarowo niepoprawne a stąd dalsze równania "powołujące" się na nie również, co zauważył p. SlotaWoj.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 09:52 
Użytkownik

Posty: 3773
Równanie prostej jest wymiarowo poprawne, bo w równaniu hiperboli C jest stałą, a dla ustalonego punktu (p, q ) jego współrzędne są liczbami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 11:16 
Użytkownik

Posty: 5931
Lokalizacja: Staszów
Czytając to zdanie
"Znajdujemy równanie stycznej do hiperboli równoosiowej o równaniu y = \frac{C}{x} w dowolnie ustalonym punkcie ( p,  q)".
z pierwszego Pana listu mam wątpliwości czy prawdą jest to co napisał Pan w liście wyżej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 11:32 
Użytkownik

Posty: 3773
Współrzędnymi kartezjańskimi dowolnie wybranego punktu jest para liczb (p, q).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 12:10 
Użytkownik

Posty: 5931
Lokalizacja: Staszów
Przepraszam za dyletanckie pytania: jak jest długość odcinka prostej którego końce podano odpowiednio parami liczb(0, 4) i (3,0) i jaką miarę ma pole figury ograniczonej osiami współrzędnych kartezjańskich a prostą do której przynależy ten odcinek?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 14:13 
Użytkownik

Posty: 3773
|\overline{[(0,4), (3,0)]}| = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2}= \sqrt{3^2 +(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

|S| = \frac{1}{2}|4-0|\cdot |3-0|= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3 = 6.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 gru 2017, o 05:20 
Użytkownik

Posty: 15561
Lokalizacja: Bydgoszcz
Artut97 napisał(a):
Mam pytanie odnośnie hiperboli, przytoczę treść zadania - będzie mi łatwiej. :D

Wykazać, że styczna do hiperboli równoosiowej xy=C ogranicza z osiami współrzędnych trójkąt o stałym polu.

Na Wikipedii https://pl.wikipedia.org/wiki/Hiperbola_(matematyka) jest taka definicja hiperboli.
Jak przejść z tej postaci do tej co mamy w zadaniu. Ja doszedłem tylko do czegoś takiego:

\frac{x^{2}-y^{2}}{a^{2}}=1

Odpowiadając na Twoje pytanie:
zamiana zmiennych x=x'+y',\ y=x'-y' zamienia równanie xy=C w równanie (x')^2-(y')^2=C . Odwzorowanie odwrotne potrafisz napisać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 10:45 
Użytkownik

Posty: 5931
Lokalizacja: Staszów
Przeglądając listy pomyślałem, że korzystając z właściwości hiperboli równoosiowej można pokazać że do każdej stycznej do takiej hiperboli przynależy przeciwprostokątną trójkąta którego przyprostokątnymi są odcinki osi współrzędnych i że pole tego trójkąta jest stałe dla tej hiperboli.

Tu szkic objaśniający to twierdzenie.
Obrazek
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 pytanie o przekształcenie wykresu  masterzielsko  1
 Funkcje cyklometryczne. Jedno pytanie.  Temonuv  1
 Pytanie dotyczące stworzenia funkcji  j_kozak  9
 Zadania dotyczące równań funkcyjnych  tolek  10
 pytanie o funkcje odwrotna  kolezankaqq  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl