szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 gru 2017, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 486
Lokalizacja: Warszawa
Hej. Jak znaleźć funkcję tworząca takiego ciągu

a_{n+1}=3a_{n}+2,\\a_{0}=1

Robię tak. Wyznaczam najpierw a_{n}= \frac{1}{3}a_{n+1}- \frac{2}{3}
A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty}a_{n}x^{n}

\sum_{n=1}^{ \infty}a_{n}x^{n}=A(x)-1=\sum_{n=1}^{ \infty}\left( \frac{1}{3}a_{n+1}- \frac{2}{3}\right) x^{n}= \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{ \infty}a_{n+1}x^{n}- \frac{2}{3}\sum_{n=1}^{ \infty}x^{n}=\\ \frac{1}{3}  \cdot \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{ \infty}a_{n+1}x^{n+1}- \frac{2}{3} 
\left(  \sum_{n=0}^{ \infty}x^{n}-1\right)= \frac{1}{3x}A(x)- \frac{2}{3} \left(\frac{1}{1-x}-1\right)
Czyli porównując
A(x)-1= \frac{1}{3x}A(x)- \frac{2}{3} \left(\frac{1}{1-x}-1\right)
Po uporządkowaniu otrzymuje
A(x)= \frac{5x^{2}-3x}{(1-x)(1-3x)}

Odpowiedź do tego zadania ma być:
A(x) = \frac{1+x}{(1-x)(1-3x)}

Czy ktoś potrafi wskazać gdzie mam błąd?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 gru 2017, o 23:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11875
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{ \infty}a_{n+1}x^{n+1}- \frac{2}{3} \left( \sum_{n=0}^{ \infty}x^{n}-1\right)= \frac{1}{3x}A(x)- \frac{2}{3} \left(\frac{1}{1-x}-1\right)

Ta równość jest błędna, wszelakoż gdybyś rozpisała sobie na spokojnie początkowe wyrazy
\sum_{n=1}^{ \infty } a_{n+1}x^{n+1}, to zobaczyłabyś, że czegoś z A(x) tam nie ma. Mianowicie zaś \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n+1}x^{n+1}=A(x)-a_1\cdot x-a_0
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja tworzaca  matkus1  14
 funkcja tworząca - zadanie 2  Hyuuga Neji  0
 funkcja tworząca - zadanie 3  kropq  1
 Funkcja tworząca - zadanie 4  napspan  1
 Funkcja tworząca - zadanie 5  ablazowa  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl