Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Strona 1 z 1

[ Posty: 6 ]

Autor

Wiadomość

kylercopeland Offline

Tytuł: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Napisane: 5 gru 2017, o 23:03

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław

Proszę o pomoc z następującym zadaniem:

Rozwiąż zależność rekurencyjną metodą równania charakterystycznego

$a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}+6n+2, n \ge 2, a_{0}=1 , a_{1}=2$

Podstawiłem $a_{n}=sn+t$

i doszedłem do $s+6=s, -3s+t+2=t$

czyli sprzeczność. Gdzie robię błąd?

Góra

arek1357 Offline

Tytuł: Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Napisane: 6 gru 2017, o 00:46

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko

Po coś ty to podstawił? nie kumam tego całkowicie...

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Napisane: 6 gru 2017, o 00:47

Posty: 12618

Takie przewidywanie jest niepoprawe, działa natomiast (ale nie pamiętam dlaczego działa) przewidywanie
$a_n=sn^2+tn$ , czyli podbicie o jedną potęgę $n$ : wstawiając to, otrzymujemy

$sn^2+tn=-s(n-1)^2-t(n-1)+2s(n-2)^2+2t(n-2)+6n+2\\ sn^2+tn=-sn^2+2sn-s-tn+t+2sn^2-8sn+8+2tn-4t+6n+2\\ \begin{cases} 6s=6 \\ s+3t=10 \end{cases}$
co otrzymujemy z przyrównania współczynników (jak to z porównywaniem wielomianów, które mają być przystające - współczynniki przy każdej potędze muszą być równe).
Czyli rozwiązaniem szczególnym Twojej rekurencji niejednorodnej (srając na razie na warunki początkowe) jest $s_n=n^2+3n$ , skoro więc znasz rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego jednorodnego - wychodzi z równania charakterystycznego $A\cdot (-2)^n+B$ , to równanie rekurencyjne niejednorodne ma rozwiązanie ogólne postaci
$A\cdot (-2)^n+B+n^2+3n$ - stałe $A$ i $B$ wyliczasz, wstawiając warunki $a_0=1, a_1=2$ i tworząc układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi.
Wolę metodę funkcji tworzących. Tam nie ma zgadywania.

Góra

kylercopeland Offline

Tytuł: Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Napisane: 6 gru 2017, o 01:07

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław

Premislav faktycznie jest tak jak piszesz, aczkolwiek mam mętlik w głowie bo w księgach napisano "Jeśli współczynnik b jest wielomianem stopnia m zmiennej n to przyjmujemy rozwiązanie szczególne tej samej postaci, czyli wielomianu stopnia m zmiennej n"

Góra

arek1357 Offline

Tytuł: Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Napisane: 6 gru 2017, o 01:18

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko

Dla mnie to przewidywanie jest grubymi nićmi szyte wzięte z kapelusza może i działa, ale ja bym od swojej Pani dostał w mordę za takie podstawianie...

Cytuj:

Wolę metodę funkcji tworzących. Tam nie ma zgadywania.

Tego się trzymajmy...

Góra

mariuszm Offline

Tytuł: Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Napisane: 6 gru 2017, o 10:35

Posty: 6622
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Jeżeli nie chcemy zgadywać to możemy zastosować sposób jaki przedstawiłem w tym temacie
426578.htm#p5519320
tylko musimy sobie przypomnieć jak podnosiliśmy macierz do potęgi

Tutaj równanie charakterystyczne występuje podczas liczenia wartości własnych

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 6 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Kombinatoryka i matematyka dyskretna

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Rozwiazywanie rownania z uzyciem wzoru Newtona	birdy1986	7
[zadanie] Rozwiąż równanie	My4tic	1
Metoda dróg	Anonymous	8
Rozwiąż równanie z silnią	kuzio87	1
m dyskretna - Ile jest całkowitych rozwiązań równania .	torbol	1

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]