szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 00:31 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Wrocław
Proszę o pomoc w zadaniu.

Niech f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, w dziedzinie jest topologia strzałka, a w przeciwdzedzinie topologia naturalna. Czy f jest ciągła, czy jest homeomorfizmem?

f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
0 & \textrm{gdy $x \in [0,1)$}\\
1 & \textrm{gdy $x \in \mathbb{R}  \setminus  [0,1)$}
\end{array} \right.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 00:39 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18424
Lokalizacja: Cieszyn
Czy f jest różnowartościowa?

Dla wykazania (ewentualnej) ciągłości wystarczy sprawdzić czy przeciwobraz przedziału otwartego w topologii naturalnej jest otwarty w strzałce. Niech I będzie przedziałem otwartym. Mamy cztery możliwości.

1. 1\in I oraz 0\not\in I. Wtedy f^{-1}(I)=\RR\setminus[0,1). Jest to zbiór otwarty w strzałce (nawiasem mówiąc wszystkie przedziały postaci [a,b) generujące strzałkę są w niej domknięto-otwarte.

Pozostałe przypadki rozważ sama.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 00:50 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Wrocław
Nie wiem czy jest różnowartościowa.

Nie do końca rozumiem ten przeciwobraz dlaczego jest właśnie tak.
Kolejne przypadki wyglądają tak ?
1 \not\in I oraz 0 \in I wtedy f^{-1} (I) = [0,1) otwarty w strzałce.
1 \in I oraz 0 \in I wtedy f^{-1}(I) =\mathbb{R}
1 \not\in I oraz 0 \not\in I wtedy f^{-1}(I) = \emptyset
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 20:10 
Administrator

Posty: 22623
Lokalizacja: Wrocław
viola14 napisał(a):
Nie wiem czy jest różnowartościowa.

No to bieda. A wiesz, co to jest funkcja różnowartościowa?

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 20:18 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: Wrocław
Jeżeli
\forall_{x,y \in D} f(x) = f(y)  \Rightarrow  x = y
to funkcja jest różnowartościowa.

Czyli w tym przpadku nie będzie bo jak wezmę x=3,y=4 to 1 = 1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 20:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18424
Lokalizacja: Cieszyn
I tak się wyraża studentka matematyki? I to nie pierwszego roku, skoro zasadnicze pytanie dotyczy nie każdemu znanej topologii strzałki. Zgroza.

Rozpoznanie funkcji różnowartościowej (bądź nie będącej taką) w takim trywialnym przypadku powinno być kwestią dwóch sekund. Jeśli argumentów nieskończenie wiele, za to tylko dwie wartości, to jakże funkcja może być różnowartościowa?

Uzasadnienie nieróżnowartościowości przeprowadziłbym jak poniżej.

Skoro istnieją x,y\in\RR takie, że f(x)=f(y) oraz x\ne y, to funkcja f nie jest różnowartościowa. Jako przykład można wziąć x=3 oraz y=4.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbadać ciągłość funkcji  ccarolaa  5
 Zbadać ciągłość funkcji - zadanie 2  k144  1
 zbadać ciągłość funkcji - zadanie 3  kb_z  3
 Zbadać ciągłość funkcji - zadanie 4  Luxy  6
 Zbadać ciągłość funkcji - zadanie 5  Anioosiaaa  7
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl