szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 00:45 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Czarna
\lim_{n\to \infty } \frac{n^{2n}-n!}{(2n)!}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 00:59 
Użytkownik

Posty: 12648
\frac{n^{2n}-n!}{(2n)!}= \frac{n^{2n}}{(2n)!} - \frac{n!}{(2n)!}
Oczywiście mamy
\lim_{n \to  \infty } \frac{n!}{(2n)!}=0, natomiast indukcyjnie można udowodnić nierówność (n-1)!\le  \frac{n^n}{e^{n-1}}, \ n=1,2,\ldots, więc
(2n-1)!\le e\left( \frac{2n}{e}\right)^{2n}, a stąd
(2n)! \le 2ne\left( \frac{2n}{e}\right)^{2n}\\ \frac{n^{2n}}{(2n)!} \ge \frac{1}{2n}\left( \frac e 2\right)^{2n}

itd. Wynik: +\infty
Można też od razu skorzystać ze wzoru Stirlinga, zaś jeszcze inna opcja to po pierwsze jak wyżej stwierdzić, że \frac{n!}{(2n)!} można odrzucić, a potem dla ciągu
a_n= \frac{n^{2n}}{(2n)!} zbadać \lim_{n \to  \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}.
Ogólnie jeśli (a_n) jest ciągiem, który ma tylko wyrazy dodatnie i spełnia warunek \lim_{n \to  \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}>1, to
\lim_{n \to  \infty }a_n=+\infty.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczyć granicę ciągu  funky  1
 Obliczyc granice ciagu  yagi  1
 Obliczyć granicę ciągu - zadanie 2  Matteosh  1
 Obliczyć granicę ciągu - zadanie 3  Bramkarz87  1
 Obliczyć granicę ciągu - zadanie 4  Alik  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl