szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 18:45 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Białystok
Podaj funkcję tworzącą dla podanego ciągu:
a. \left( 5,\ 9,\ 17,\ 33,\ 65,\ 129,\ ...\right) ,
b. d_{n} = 3^{n} - 2^{n} ,
c. e_{n} = 3 + 2^{n} - \left(\frac{1}{5}\right)^{n+1} ,
d. f_{n} = 5 * 8^{n+3} .
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 19:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12435
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
W pierwszym warto najpierw wyznaczyć wzór ogólny ciągu:
a_n=2^n+1, \ n=2,3\ldots
a jak chcesz, żeby zaczynał się od a_0, to
a_n=2^{n+2}+1, \ n=0,1\ldots (po prostu przesuwamy indeksy).

Dalej to tylko znajomość wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
ponieważ dla |x|<1 mamy
\sum_{n=0}^{ \infty } x^n=\frac{1}{1-x},
to gdy a\neq 0, |x|<\frac{1}{|a|}
zachodzi
\sum_{n=0}^{ \infty } (ax)^n=\frac{1}{1-ax}

Dziękuję za zwrócenie uwagi na błąd, a4karo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 02:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Jeśli chodzi o pierwszy ciąg to można też wyjść z wzoru rekurencyjnego

a_{n}= \begin{cases} 5 \qquad\qquad\qquad n=0 \\ 2a_{n-1}-1 \qquad n>0 \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2017, o 22:07 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Białystok
Tylko chciałbym to zapisać jako funkcje tworzącą, a nie jako wzór rekurencyjny udało mi się znaleźć taki ciąg (4,8,16,32,64,128...) i to jest \frac{4}{1-2x} tylko jak to przekształcić na taki ciąg: (5,9,17,33,65...) i nie mam pomysłu jak rozpisać kolejne
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2017, o 22:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12435
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Funkcją tworzącą ciągu stale równego 1 jest \sum_{}^{} x^n=\frac{1}{1-x},\ |x|<1) . Do każdego wyrazu ciągu o podanej przez Ciebie funkcji tworzącej dodajesz 1 , czyli funkcją tworzącą tego całego Twojego ciągu będzie
\frac{4}{1-2x}+\frac{1}{1-x}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2017, o 23:42 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Białystok
A może wiesz jak zrobić b, c i d bo nawet nie mam pomysłu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2017, o 23:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12435
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Przecież to jest bardzo proste. Rozwiążę b), resztę masz zrobić sam analogicznie.
b) G(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} (3^n-2^n)x^n= \sum_{n=0}^{+\infty} (3x)^n- \sum_{n=0}^{+\infty}(2x)^n=\frac{1}{1-3x}-\frac{1}{1-2x}, \  |x|<\frac 1 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 09:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6620
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
a_{0}=5\\
a_{n}=2a_{n-1}-1\\
A\left( x\right)=  \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} \\
\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{ \infty }2a_{n-1}x^{n}- \sum_{n=1}^{ \infty }x^{n} \\
\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^{n}=2x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n-1}x^{n-1}\right)- \frac{x}{1-x} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-5=2x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^{n}\right)- \frac{x}{1-x} \\
A\left( x\right)-5=2xA\left( x\right) -\frac{x}{1-x}\\
A\left( x\right)-2xA\left( x\right)=5-\frac{x}{1-x}\\
A\left( x\right)\left( 1-2x\right)=\frac{5-6x}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{5-6x}{\left(1-2x \right)\left( 1-x\right)  }\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zamiana ciagu rekurencyjnego na ogolny  eoor  1
 Funkcje niemalejące  author  6
 doporowadz do najprostrzej postaci i podaj zalozenia  yossarian  1
 wyprowadzenie wzoru na funkcję Eulera  nykus  2
 Mały problem z funkcją tworzącą  kogutto  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl