szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Sopot
Natrafiłem na problem z dwoma przykładami. Przypuszczam, że w przykładzie 2. należy postawić sobie warunek \le , \ge

1. \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{100+2^n}

2. \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{15+2^n+3^n}



Proszę o dokładne wyjaśnienie jak radzić sobie z takimi przykładami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2017, o 20:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Najlepiej patrzeć na to, które fragmenty mają największe znaczenie, a które mają zaniedbywalny niemalże wpływ. Dla dużych n w wyrażeniu 2^n+100 zdecydowanie największą rolę odgrywa 2^n.
A będzie tu tak: 2^n<2^n+100<2^n+2^n dla n\ge 7, stąd
2=\sqrt[n]{2^n}<\sqrt[n]{100+2^n}<\sqrt[n]{2^n+2^n}=\sqrt[n]{2\cdot 2^n}=\sqrt[n]{2}\cdot 2 gdy n\ge 7.

Podobnie w drugim to, co najbardziej się liczy dla dużych n, to 3^n, gdyż
\lim_{n \to  \infty }  \frac{15}{3^n} =0\\ \lim_{n \to  \infty }  \frac{2^n}{3^n} =0.

No i szacujemy tak: dla n\ge 3 jest
3^n<15+2^n+3^n<3^n+3^n+3^n=3\cdot 3^n, stąd dla n\ge 3 mamy
3=\sqrt[n]{3^n}<\sqrt[n]{15+2^n+3^n}<\sqrt[n]{3\cdot 3^n}=\sqrt[n]{3}\cdot 3

-- 6 gru 2017, o 21:46 --

I wystarczy teraz skorzystać z tw. o granicy iloczynu i twierdzenia o trzech ciągach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 22:38 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Sopot
Dzięki, a gdyby rozpisać to w sposób poniżej to jest to zbędne utrudnianie? Mnie osobiście wydaje się, że sposób wskazany przez ciebie jest wygodniejszy.

100 \le 50  \cdot  2^n

1. \sqrt[n]{2^n} \le \sqrt[n]{100+2^n} \le \sqrt[n]{50 \cdot 2^n+2^n}

Jak to dalej będzie szło i skąd wzięła się to \sqrt[n]{50 \cdot 2^n+2^n}

_____________________________

Jeszcze mam taką pierdółkę do której nie warto zakładać nowego wątku.

Kiedy liczymy asymptoty funkcji i mamy taki przykład:

y=\frac{ \left( x-1 \right) ^2}{x^2}

Policzymy sobie dziedzinę i całą resztę, jesteśmy w momencie liczenia granic z krańców dziedziny.

\lim_{x\to\00^-}\frac{ \left( x-1 \right) ^2}{x^2}

I teraz to o co mi chodzi.

Podstawiamy sobie na boku za x'y liczbę 0.

\left[ \frac{ \left( x-1 \right) ^2}{x^2} \right]  =  \left[ \frac{ \left( 0-1 \right) ^2}{0^2} \right]  =   \left[ \frac{1}{0} \right]

Dochodzimy do momentu gdzie za zero musimy podstawić odpowiednią wartość. Ja przyjąłem sobie, że będzie to w przybliżeniu x  \approx  -0,1

W miejscu zera w głowie podstawiam sobie to -0,1 i traktuje tak jakby ta wartość była podnoszona do kwadratu, a więc:

\left[ \frac{1}{0^+} \right]  = +\infty

Czy ja to dobrze rozumuje?

_____________________________

Kolejna sprawa z asymptotami, czy jest opcja ominąć regułę L'Hospitala deltą i sprowadzeniem wzoru do postaci iloczynowej, skrócenie i dalsze liczenie czy to konkretne pierdoły?

y = \frac{2x^2 + 2x - 4}{x-1}


_____________________________

Ostatnie pytanie z asymptot.

Cytuj:
Jeżeli podczas obliczania granic w okaże się, że dla x  \rightarrow  +\infty i dla x  \rightarrow  -\inftywychodzą różne wyniki rozbijamy zadanie na dwa przypadki (przy x  \rightarrow  +\infty i dla x  \rightarrow  -\infty). Możemy wtedy uzyskad dwie różne asymptoty ukośne.


Pytanie jest następujące. Skąd mieć pewność, bez wyliczania każdej z opcji, że wyniki są identyczne dla x  \rightarrow  +\infty i dla x  \rightarrow  -\infty?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 23:04 
Użytkownik

Posty: 15805
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie masz, dopóki nie policzysz. Ale na przykład dla funkcji wymiernych tak będzie.
A dla parzystych raczej nie (chyba, że pozioma).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Sopot
Odkopuję wątek. Chciałbym, aby moje obliczenia zostały poddane analizie.

\lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{2+5^n+3 \cdot 6^n}

Zakładam, że n   \ge 1

6=\sqrt[n]{6^n} \le \sqrt[n]{2+5^n+3 \cdot 6^n } \le \sqrt[n]{6^n+6^n+3\cdot 6^n}=\sqrt[n]{5}\cdot 6 = 6

\lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{2+5^n+3 \cdot 6^n} = 6
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 14:25 
Użytkownik

Posty: 41
Lokalizacja: Stęszew
Z prawej strony \sqrt[n]{5}\cdot 6\neq6 To dąży do 6, a nie jest równe 6
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczanie granicy.  Anonymous  8
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl