szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 19:04 
Użytkownik

Posty: 211
Lokalizacja: Kutno
Mam udowodnić, lub obalić następującą tezę:

\left(  a_{n} \right)_{n  \in \mathbb{N}} i \left(  b_{n} \right)_{n  \in \mathbb{N}} są ograniczone. a jest punktem skupienia \left(  a_{n} \right)_{n  \in \mathbb{N}} i b jest punktem skupienia \left(  b_{n} \right)_{n  \in \mathbb{N}} . Wtedy \left(  a_{n} + b_{n} \right)_{n  \in \mathbb{N}} jest również ograniczony z punktem skupienia a+b .

Ograniczoność sumy chyba ogarnąłem bo stwierdziłem, że istnieją C, D, E, F takie, że C  \le a_{n} \le D oraz E  \le a_{n} \le F co daje, że \min\left\{ C,E\right\}    \le a_{n} + b_{n} \le \max\left\{ D,F\right\} więc suma jest ograniczona :)

Punkt skupienia sumy zacząłem, korzystając z tw. Weierstrassa, co dało mi, że skoro są ograniczone i posiadają punkt skupienia, to istnieją podciągi x_{n} i y_{n} dla których \lim_{ x_{n} \to  \infty  } a_{n} = a oraz \lim_{ y_{n} \to  \infty  } b_{n} = b .

I teraz nie mogę powiedzieć nic odnośnie sumy, bo przecież to są granice po różnych podciągach, więc (chyba) nie mogę tego tak po prostu dodać... Przekombinowałem, czy w ogóle źle się do tego zabieram? :)

Bardzo proszę o pomoc :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 19:58 
Użytkownik

Posty: 15128
Lokalizacja: Bydgoszcz
\min\left\{ C,E\right\} \le a_{n} + b_{n} \le \max\left\{ D,F\right\}
To nie jest prawda.

Jak nie możesz, to może warto poszukać kontrprzykładu? (nietrudny jest)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 20:03 
Użytkownik

Posty: 211
Lokalizacja: Kutno
a4karo napisał(a):
\min\left\{ C,E\right\} \le a_{n} + b_{n} \le \max\left\{ D,F\right\}
To nie jest prawda.

Czemu to nie jest prawda? :O Przecież jak mam dwa ciągi ograniczone, to ich suma też będzie ograniczona i nie wyskoczy poza te minima i maksima, które podałem...

a4karo napisał(a):
Jak nie możesz, to może warto poszukać kontrprzykładu? (nietrudny jest)

Czyli męczę się nad tezą, która jest błędna? :) Nie będzie to ciąg o punkcie skupienia a+b . :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 20:09 
Użytkownik

Posty: 15128
Lokalizacja: Bydgoszcz
a_n=b_n=2,\ a_n+b_n=4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 211
Lokalizacja: Kutno
a4karo napisał(a):
a_n=b_n=2,\ a_n+b_n=4

Czyli kontrprzykład jest tylko do ograniczoności? Ale suma jest ograniczona, tylko źle zapisałem warunek :)

Czy tak będzie lepiej?

\min \left\{ C, E, C+E\right\} \le a_{n} + b_{n} \le \max \left\{ D, F, D+F\right\}

A co odnośnie części drugiej z punktami skupienia?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 15128
Lokalizacja: Bydgoszcz
A z ograniczonością nie ma się co tak bawić: Jeżeli |a_n|<A i |b_n|<B, to |a_n+b_n|<A+B

+1,-1,+1,-1,...
-1,+1,-1,+1,...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 22:42 
Użytkownik

Posty: 211
Lokalizacja: Kutno
a pomoże ktoś z częścią o punktach skupienia? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 15128
Lokalizacja: Bydgoszcz
No przecież dałem Ci podpowiedź. Pomyśl...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 23:09 
Użytkownik

Posty: 211
Lokalizacja: Kutno
Czyli ta teza jest błędna? dla jednego i drugiego ciągu punktami skupienia są -1 i 1 , a dla zsumowanego jest 0 ? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 23:12 
Użytkownik

Posty: 15128
Lokalizacja: Bydgoszcz
Chyba od początku to sugerowałem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nieskończona suma podzbiorów. Dowód  marcel0906  8
 zbiór wypukły dowód  Skarfejs  4
 Dowód - każda przestrzeń T1 jest przestrzenią T0  NicoleHoppy  10
 Dowód cl(A) i int(A)  kacpaw  3
 dowód sprawdzenie  agusiaczarna22  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl