szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 20:09 
Użytkownik

Posty: 776
Lokalizacja: Polska
Dane są dwa ciągi a_i oraz b_i takie, że dla każdego i mamy a_i > 0 oraz a_i + b_i > 0 .
Zbadać czy zachodzi nierówność
\sum_{i=1}^n (a_i +\frac{2}{a_i + b_i}) \ge 2n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 15341
Lokalizacja: Bydgoszcz
Coś za proste:
a_i=1,\ b_i=199
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 20:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1473
Lokalizacja: hrubielowo
A może miało być a_i \ge b_i ? Wtedy nierówność będzie prawdziwa jako że:

\sum_{i=1}^{n}\left( a_i+ \frac{2}{a_i+b_i}\right) \ge  \sum_{i=1}^{n} 2 \sqrt{ \frac{a_i+a_i}{a_i+b_i} } \ge   \sum_{i=1}^{n} 2=2n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 776
Lokalizacja: Polska
No nic. Najwyraźniej jestem zbyt leniwy na sprawdzanie.

Mam też to:
Sprawdzić, czy zachodzi dla a_i > 0
\sum_{i=1}^{n-2} (a_i +\frac{2}{a_{i+1} + a_{i+2}}) + a_{n-1}+a_n + \frac{2}{a_{n}+a_{1}}+\frac{2}{a_1+a_2} \ge 2n
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 21:10 
Użytkownik

Posty: 1368
Trzeba było zostawić poprzednią wersję - była czytelniejsza. Wystarczyła adnotacja o indeksach modulo n. Pomnóż obie strony przez dwa, pogrupuj wyrazy i skorzystaj z AM-GM.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 21:18 
Użytkownik

Posty: 776
Lokalizacja: Polska
2 \sum_{i=1}^{n}(a_i + \frac{2}{a_{i+1 \mod n}+a_{i+2 \mod n}}) \ge 4n

2\sum_{i=1}^{n}(a_i + \frac{2}{a_{i+1 \mod n}+a_{i+2 \mod n}}) \ge \sum_{i=1}^{n} 4 \sqrt{\frac{2a_i}{a_{i+1 \mod n}+a_{i+2 \mod n}}}

Jakoś nic nie widzę l_l

Nie ważne, już mam!
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 gru 2017, o 21:32 
Użytkownik

Posty: 1368
Adnotacja o indeksach modulo n tłumaczy się na normalny język tak: a_{n+1}=a_1,\ a_{n+2}=a_2 .

2L=\sum\limits_{i=1}^n\left(\left(a_{i+1}+a_{i+2}\right)+\frac{4}{a_{i+1}+a_{i+2}}\right)\ge 4n=2P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dziwny ciąg.  michal0906  2
 ciąg arytmetyczny - czy liczba jest podzielna...  aniwre  1
 ciąg o nieparzystej liczbie wyrazów - zadanie 2  damalu  3
 Ciąg funkcyjny z funkcją  musialmi  3
 ciag funkcyjny - zadanie 7  mit92ew  16
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl