szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2017, o 13:08 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Polska
Mam kilka podpunktów do zrobienia. Proszę o sprawdzenie tego, czy dobrze to robię i poprawę błędów :)

1) ~~ f(z) = \frac{z^2}{e^z -1}

2) ~~ f(z) = \frac{\cos (z^2)-1}{z^4}

3) ~~ f(z) = \frac{1}{\sin ^2 (z)}

4) ~~ f(z) = \frac{e^ \frac{z}{z-1} }{e^z -1}

5) ~~ f(z) = z \cdot \tg (z)

6) ~~ f(z) = \frac{z^3}{\sin (z^2)}

7) ~~ f(z) = \frac{e^ \frac{1}{z} }{z^2 +1}

8) ~~ f(z) = \frac{\cos (z)}{z^4 +1}

9) ~~ f(z) = \frac{\cos (z) - 1}{z^2}

10) ~~ f(z) = \frac{1}{\sinh (z)}



Rozwiązania


1) ~~ z_k = 2 k \pi i, ~~ \text{dla} ~~ k\in \ZZ \setminus \{ 0 \} zera mianownika. Pierwsza pochodna mianownika w punkcie z_k = 2 k \pi i \neq 0
więc z_k = 2 k \pi i, ~~ \text{dla} ~~ k\in \ZZ \setminus \{ 0 \} bieguny 1 krotne f(z)

Dla określenia z_0 = 0 liczę granicę \lim_{ z \to 0 } f(z) , która jest równa 2, więc z_0 = 0 punkt pozornie osobliwy f(z)


2)~~ Rozwijając w szereg Laurenta otrzymuję \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{4n-4}. Brak części osobliwej, więc z_0 = 0 punkt pozornie osobliwy f(z)


3)~~ z_k = k \pi zera mianownika. Druga pochodna mianownika w punkcie k \pi różna od różna od 0, więc z_k = k \pi bieguny 2 krotne f(z)


4) ~~ z_k = 2 k \pi i zera mianownika. Pierwsza pochodna mianownika w punkcie 2 k \pi i różna od 0, więc z_k = 2 k \pi i bieguny 1 krotne f(z)


5) ~~ f(z) = \frac{z \cdot \sin(z)}{\cos(z)}. Granica \lim_{ z \to 0 } f(z) = 0. Więc z_0 = 0 punkt pozornie osobliwy f(z)


6) ~~ z_k = k \pi ~~ \text{dla} ~~ k\in \ZZ \setminus \{ 0 \} zera mianownika. Druga pochodna mianownika w punkcie k \pi różna od 0, więc z_k = k \pi ~~ \text{dla} ~~ k\in \ZZ \setminus \{ 0 \} bieguny 2 krotne f(z). Co dla z_0 = 0 ? Jak liczyć granicę \lim_{ z \to 0 } f(z) ? Dwa razy z reguły de l'Hospitala i wtedy wychodzi 0, więc pozornie osobliwy?


7) ~~ f(z) = \frac{e^ \frac{1}{z} }{(z+i) (z-i)}
z_1 = i i z_2 = - i bieguny 1 krotne f(z).
Co z z_0 = 0 ? Jak liczyć granicę \lim_{ z \to 0 } f(z) ? nie istnieje ? czyli punkt istotnie osobliwy?


8) ~~ \lim_{ z \to 0}f(z) = 1 więc z_0 = 0 punkt pozornie osobliwy.


9) ~~. Rozwijając w szereg Laurenta brak części osobliwej, więc z_0 = 0 punkt pozornie osobliwy.


10) ~~ Pierwsza pochodna mianownika różna od zera w punkcie z_0 = 0 więc z_0 = 0 biegun 1 krotny.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2017, o 15:24 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8230
Lokalizacja: Wrocław
1. W z_0 granica wynosi 0 a nie 2, ale wniosek ze skończoności granicy jest poprawny - punkt pozornie osobliwy.

2, 3. Poprawnie.

4. z_k = 2k \pi i poprawnie, ale przeoczyłeś, że ta funkcja ma jeszcze punkt osobliwy z = 1.

5. z_0 = 0 nie jest punktem osobliwym, bo f jest w nim określona. Punktami osobliwymi są zera mianownika.

6. z_k = k \pi dla k \neq 0 nie są punktami osobliwymi. Kiedy \sin(z^2) = 0 ? z_0 = 0 poprawnie.

7. z_1, z_2 poprawnie. Dla z_0 = 0 - pierwszy sposób:

\lim_{z \to 0} \frac{1}{z^2+1} = 1,

\lim_{z \to 0} e^{\frac{1}{z}} nie istnieje,

zatem \lim_{z \to 0} \frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^2+1} również nie istnieje, czyli punkt jest pozornie osobliwy.

Drugi sposób - udowodnij ogólny fakt: jeśli z_0 jest punktem istotnie osobliwym f(z) i biegunem, punktem pozornie osobliwym lub punktem regularnym g(z), to jest on punktem istotnie osobliwym \frac{f(z)}{g(z)}. Następnie wywnioskuj z rozwinięcia w szereg Laurenta, że z_0 = 0 jest punktem istotnie osobliwym dla e^{\frac{1}{z}} i regularnym dla z^2+1, zatem dla ilorazu jest to punkt istotnie osobliwy.

8. z_0 = 0 nie jest punktem osobliwym f(z). Punkty osobliwe to zera mianownika z^4+1.

9, 10. OK.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2017, o 16:42 
Użytkownik

Posty: 144
Lokalizacja: Polska
Wszystko jasne, bardzo mi pomogłeś Dasio11, dziękuję :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rodzaj osobliwości  bnyh6  0
 Rodzaj osobliwości dla funkcji  primax  20
 określanie charakteru punktów osobliwych  Studentka1992  1
 Charakteryzacja punktów osobliwych  Arytmetyk  3
 określić osobliwość funkcjii f(z) w punkcie nieskończonosć  martynaaa38  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl