szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2017, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Częstochowa
Mamy ciąg:
a_{1}= \frac{\pi}{2}
Oraz
a_{n+1} =  \sin(a_{n})
Znaleźć granicę ciągu

Ciąg jest ograniczony i malejący (chyba?). Na oko dąży do 0. Ale nie wiem jak przeprowadzić dowód.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2017, o 21:44 
Użytkownik

Posty: 15818
Lokalizacja: Bydgoszcz
1. pokaż, ze maleje (to jest proste)
2. zastanów się jakie równanie spełnia granica
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2017, o 21:47 
Gość Specjalny

Posty: 5872
Lokalizacja: Toruń
Ograniczoność jest jasna - |a_n| \leq \frac{\pi}{2} dla wszystkich n \geq 1, ponadto |a_n| \leq 1 dla n \geq 2.

Malejący - zauważ, że a_2 = \sin ( \pi / 2 ) = 1. Oczywiście zatem a_2 \leq a_1. Zauważ również, że na mocy nierówności \sin x \leq x dla x \geq 0 mamy
a_{n+1} = \sin (a_n) \leq a_n.
Aby jednak bezpiecznie korzystać z tej nierówności należy pokazać, że a_n \geq 0 -- pozostawiam to Tobie jako ćwiczenie.


Można jednak zrobić to nieco inaczej - zdefiniujmy b_n = |a_n|. Wtedy oczywiście ciąg b_n jest ograniczony (jak powyżej), co więcej z nierówności |\sin x| \leq |x| dla wszystkich x \in \RR mamy
b_{n+1} = |a_{n+1}| = | \sin (a_n) | \leq |a_n| = b_n,
więc b_n jest ograniczony, a więc jest zbieżny. Z ograniczoności a_n wynika, że pewien podciąg a_{n_k} jest zbieżny, ponadto z zależności rekurencyjnej jest zbieżny do zera. Stąd b_{n_k} również jest zbieżny do zera, a wobec zbieżności b_n, mamy b_n \to 0, więc |a_n| \to 0, co implikuje, że a_n \to 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 gru 2017, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 15818
Lokalizacja: Bydgoszcz
bartek118 napisał(a):
ponadto z zależności rekurencyjnej jest zbieżny do zera. .


Z Twoich wywodów to nie jest jasne. Przydałby sie lepszy argument
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2017, o 07:54 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Częstochowa
@bartek - dzięki za obszerną odpowiedź, ale do tego, że jest ograniczony i malejący już doszliśmy...
W zasadzie to można nawet pokazać graficznie.
Pytanie - skąd wiemy, że na 100% dąży do 0, a nie zatrzymuje się na np. 1/2?
Przecież spokojnie mogę wymyślić taki ciąg, żeby sinus dążył do 1/2. Też będzie malejący, zbieżny, ograniczony...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2017, o 07:56 
Użytkownik

Posty: 15818
Lokalizacja: Bydgoszcz
bo g=\sin g
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2017, o 08:03 
Użytkownik

Posty: 24
Lokalizacja: Częstochowa
Aaaaaaa, genialne w swojej prostocie. Dzięki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 granica ciągu danego rekurencyjnie  malwinka82  2
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl