szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 14:28 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: warszawa
jeśli w granicach x dązy do \frac{\pi}{2}, a granica ta ma symbol nieoznaczony, to wtedy granica zaczyna zmierzać zamiast do\frac{\pi}{2} to do o?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 14:42 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Kraków
Granica nie zmierza do niczego. Uściślij pytanie , albo podaj konkretny przykład.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: warszawa
mam następnującą granice:
\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi}{2}}          \frac{\sin x + 2 ^{ \pi + 2x}}{ \pi  + 2x }


Muszę ją rozwiązać bez używania reguły de L'Hospitala
Bardzo proszę o pomoc :(
\
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 14:54 
Użytkownik

Posty: 413
Lokalizacja: Kraków
A gdzie tutaj masz symbol nieoznaczony ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 14:56 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: warszawa
po podstawieniu -\frac{\pi}{2} otrzymamy \frac{0}{0}
byłabym bardzo wdzięczna jeśli ktoś pomógłby mi to rozwiązać...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 15:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13199
Lokalizacja: Wrocław
Podstawmyż t=\pi+2x. Wówczas sprowadzamy problem do rozważenia takiej granicy:
\lim_{t \to 0}  \frac{\sin\left( \frac{t-\pi}{2}\right)+2^t }{t}
Teraz tak:
\sin\left(  \frac{t-\pi}{2} \right) =\sin\left( \frac t 2-\frac \pi 2\right) =\sin\left( -\left( \frac \pi 2-\frac t 2\right) \right) =-\sin\left( \frac \pi 2-\frac t 2\right)=-\cos \left( \frac t 2\right), czyli mamy
\lim_{t \to 0} \frac{2^t-\cos\left( \frac t 2\right) }{t}
Teraz tak to rozpiszemy:
\frac{2^t-\cos\left( \frac t 2\right) }{t} = \frac{2^t-1}{t} + \frac{1-\cos\left( \frac t 2\right) }{t}
Ponadto mamy
\lim_{t \to 0}  \frac{a^t-1}{t} =\ln a dla dowolnej stałej a>0 (można to uznać za znaną granicę), a także
\lim_{t \to 0} \frac{1-\cos\left( \frac t 2\right) }{t}= \lim_{t \to 0}  \frac{2\sin^2\left( \frac t 4\right) }{t} =\\= \lim_{t \to 0} \frac{t}{16}  \cdot  \left(  \frac{\sin\left( \frac t 4\right) }{\frac t 4} \right)^2
i teraz można skorzystać ze znanej granicy specjalnej z sinusem. Dalej wykorzystujemy twierdzenie o arytmetyce granic.

Ostateczny wynik: \ln 2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 19:13 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: warszawa
Premislav, Bardzo dziękuję za odpowiedź ! :)
Mam jeszcze kilka pytań, ponieważ nie do końca rozumiem... Dlaczego -\sin (...) zamienił się na -\cos (...) i zniknęło \frac{ \pi }{2} ? oraz skąd się wzięły dwie ostatnie linijki? :( Czy mógłby mi Pan to wytłumaczyć? :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 19:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13199
Lokalizacja: Wrocław
Żaden ze mnie Pan.
Sinus jest funkcją nieparzystą, tzn. dla dowolnego a\in \RR mamy \sin(-a)=-\sin (a), tj. w szczególności \sin\left( -\left( \frac \pi 2-x\right) \right) =-\sin\left( \frac \pi 2-x\right).
Natomiast dalej skorzystałem ze wzoru redukcyjnego \sin\left( \frac \pi 2-a\right) =\cos(a).
No a potem pomnożyłem i podzieliłem przez coś takiego, żeby skorzystać ze znanej granicy
\lim_{ t\to 0} \frac{\sin t}{t} =1.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 19:32 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: warszawa
Nadal jednak nie wiem skąd się wzięło, że 1-\cos  \frac{t}{2} zmienia się na 2 \sin ^2 ( \frac{t}{4} oraz to ostatnie równanie... :(

-- 11 gru 2017, o 20:39 --

Premislav,
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 19:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13199
Lokalizacja: Wrocław
To się wzięło z takiego wzorku:
1-\cos (2x)=2\sin^2 x (daje się to wywnioskować ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i z jedynki trygonometrycznej), tj. dla x=\frac t 4 mamy
1-\cos\left( \frac t 2\right) =2\sin^2\left( \frac t 4\right).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 21:01 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: warszawa
Premislav, Bardzo dziękuję ! :) już wszystko jasne ! :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz granicę ciagu  :)  4
 Oblicz granicę ciągu  Anonymous  1
 Oblicz granicę ciągu - zadanie 2  Anonymous  1
 Granice ciągów  Anonymous  3
 Granice ciągów - zadanie 2  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl