szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 19:39 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Białystok
Niech p_{n} oznacza liczbę przekątnych w n-kącie foremnym. Zaproponuj wzór na p_{n} oraz udowodnij indukcyjnie.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 gru 2017, o 20:28 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12431
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Odcinków łączących wierzchołki n-kąta foremnego masz dokładnie {n \choose 2} - tyle samo, co podzbiorów dwuelementowych zbioru o n elementach (z każdym takim odcinkiem jednoznacznie możesz skojarzyć parę wierzchołków). Od tego odejmujesz liczbę tych odcinków, które bynajmniej przekątnymi nie są, czyli są bokami - jest ich n, więc otrzymujesz {n \choose 2}-n przekątnych. Ale powiedziałbym, że dowód indukcyjny w tym przypadku jest dość kłopotliwy. Trzeba by chyba po prostu opuścić założenie o foremności (bez niego też wzór działa, ale jak nie opuścimy tego założenia, to nie bardzo widać, jak to wykazać indukcyjnie).
1^{\circ} Łatwo sprawdzić na palcach, że ten wzorek daje, zgodnie z oczekiwaniami, p_3=0 oraz p_4=6-4=2.
2^{\circ} Powiedzmy, że wiemy, iż dla pewnego n \in \NN^+ w każdym n-kącie wypukłym (niekoniecznie foremnym) jest {n\choose 2}-n przekątnych. Rozpatrzmy dowolny n+1-kąt wypukły. Rozetnijmy go na trójkąt i n-kąt (wystarczy wybrać sobie pewien wierzchołek p i dwa sąsiednie). Wówczas z założenia indukcyjnego mamy, że n-kąt ma {n \choose 2}-n przekątnych, ponadto każdy wierzchołek n-kąta jest i wierzchołkiem n+1-kąta. Przekątne n+1-kąta, których nie policzyliśmy jako przekątnych n-kąta to dokładnie te, których jednym z wierzchołków jest nasz wyróżniony punkt p, zaś drugi wierzchołek to jeden spośród n+1-3=n-2 wierzchołków, które ani nie są tożsame z p, ani z nim nie sąsiadują, plus jeszcze jedna przekątna łącząca punkty sąsiadujące z punktem p. Zatem nasz n+1-kąt ma {n \choose 2}-n+(n-2)+1={n+1 \choose 2}-(n+1) (to trzeba przeliczyć, że ta równość zachodzi, nie będę rozpisywał, bo to nudy, zostawiam jako ćwiczenie) przekątnych, c.n.d.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzór na multipodzbiory  Kacpro  4
 wzór kombinatoryczny  Karolina93  10
 Udowodnij wzór korzystając z twierdzenia Diraca  MathMaster  1
 Ciąg rekurencyjny, wzór na pole koła  Kedor  1
 Znaleźć wzór algebraiczny. - zadanie 2  Madonzy  13
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl