szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 17:10 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Polska
Niech \left\{  a_{n} \right\} będzie ciągiem ograniczonym, spełniającym zależność:

a_{n+1} \ge  a_{n}- \frac{1}{ 2^{n} }.

Mam wykazać, że ciąg jest zbieżny.

Jakieś wskazówki ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 18:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Skoro ciąg ten jest ograniczony, to ma punkt skupienia. Co by się stało, gdyby miał dwa różne punkty skupienia?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 18:50 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Polska
Wtedy można by go podzielić na dwa podciągi zbieżne do różnych granic ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 19:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Niekoniecznie tak, ale można by wyróżnić dwa podciągi zbieżne do różnych granic. Zauważ, że jeśli mamy punkty skupienia g_1>g_2 takiego ciągu, wyraz a_n który jest blisko g_1 i wyraz a_m (m>n), który jest blisko g_2, to można wybrać ileś wyrazów ciągu o indeksach nie mniejszych niż n i nie większych niż m, tak by formowały one (skończony) podciąg malejący. Ponadto np. a_{n+2}-a_n=(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+1}-a_n) itd.
Trzeba to jednak sformalizować na indeksach, deltach i epsilonach. A mi się nie chce.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 19:48 
Użytkownik

Posty: 15823
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wcale nie trzeba.
Niech ai b będą takimi liczbami, że g_2<a<b<g_1.

Weżmy N takie duże, żeby \sum_{i=N}^\infty 1/2^i< b-a i weżmy N<K<L takie, że a_L<a<b<a_K wtedy a_K-a_L>b-a, a z drugiej strony
a_K-a_L=(a_K-a_{K+1})+(a_{K+1}-a_{K+2})+\dots+(A_{L-1}-A_L)<\sum_{i=K}^{L-1} 1/2^i<b-a

i po ptokach
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 20:38 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Polska
Czyli w ten sposób pokazujemy że a_K-a_L>b-a i jednocześnie a_K-a_L<b-a, co jest sprzecznością więc ciąg ma tylko jeden punt skupienia więc jest zbieżny do tegoż punktu ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 20:40 
Użytkownik

Posty: 15823
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tak włąaśnie
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Polska
Ok

A mógłbyś mi jeszcze powiedzieć skąd się wziął znak sumy ? I w którym momencie korzystamy z wyjściowej nierówności ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 21:04 
Użytkownik

Posty: 15823
Lokalizacja: Bydgoszcz
Myślałem, że to jest oczywiste:

a_K-a_{k+1}<1/2^K itd. z warunku na ciąg.

Ten warunek oznacza, że ciąg ten jest "prawie" roznący

Zresztą w tym zadaniu liczby 1/2^n można zastąpić dowolnym szeregiem zbieżnym

Można to zadanie rozwiązać wprost.
NIech b_n=a_n-\frac{1}{2^{n-1}} Wtedy
b_{n+1}-b_n=a_{n+1}-\frac{1}{2^{n}}-a_n+\frac{1}{2^{n-1}}=a_{n+1}-a_n+\frac{1}{2^{n}}\geq 0

Ciąg b_n jest zatem rosnący i ograniczony, więc zbieżny. A to implikuje zbieżność a_n.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 21:09 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Polska
Dla mnie jeszcze wiele rzeczy nie jest oczywistych. Dziękuję za cierpliwość ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż, że ciąg jest zbieżny  zdzisiek186  1
 Wykaż, że ciąg jest zbieżny - zadanie 2  Pan_Pietrucha  1
 Wykaż, że ciąg jest zbiezny - zadanie 3  Quaerens  5
 Wykaż, że ciąg jest zbieżny - zadanie 4  max123321  15
 Kiedy szereg jest zbieżny ? - zadanie 2  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl