szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 gru 2017, o 23:38 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Nowy Sącz
Znaleźć krzywiznę i skręcenie krzywej r(t)=(3t-t ^{3} , 3 t^{2}, 3t+t^3) .
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2017, o 12:31 
Użytkownik

Posty: 3083
Krzywizna krzywej

1.Wprowadzamy parametr drogi s krzywej:

s(\varsigma) = \int_{0}^{\varsigma}\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)}dt.

2.Wyznaczamy funkcje odwrotną \varsigma(s).

3. Wyznaczamy współrzędne wektora \vec{r}(\varsigma).

4. Obliczamy współrzędne wektora stycznego \vec{T}(s)= \vec{r'}(\varsigma).

5. Obliczamy współrzędne wektora pochodnej \vec{T'}(s).

6. Wyznaczamy krzywizną krzywej \kappa = \left |\vec{T'}(s)\right|.

Skręcenie krzywej

Torsję (skręcenie) krzywej wyznaczamy, obliczając pochodną wektora binormalnego \vec{B}.

\vec{B}(s) = \vec{T}(s) \times \vec{N}(s) (iloczyn wektorowy)

i określając normę tego wektora |\tau| = |B'(s)|.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2017, o 20:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1216
Lokalizacja: hrubielowo
Krzywiznę krzywej można łatwo policzyć za pomocą interpretacji z mechaniki.
Jeśli cząstka poruszała by się torem r(t)=\left[ x(t),y(t),z(t)\right] to:
prędkość jest równa r'(t)=\left[ x'(t), y'(t), z'(t)\right] a co do wartości

v(t)= \sqrt{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }

Analogicznie przyspieszenie r''(t)=\left[ x''(t), y''(t), z''(t)\right] co do wartości

a(t)= \sqrt{\left( x''(t)\right)^2 +\left( y''(t)\right)^2 +\left( z''(t)\right)^2 }

Powyższy wzór wyraża przyspieszenie całkowite cząstki policzone jako wektorowa suma składowych przyspieszeń w układzie kartezjańskim. Można jednak przyspieszenie policzyć w jako wektorową sumę przyspieszenia stycznego i normalnego.

a_n= \frac{v^2(t)}{\rho (t)}= \frac{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }{\rho (t)} (gdzie \rho (t) to promień krzywizny)

a_{\tau}= \frac{ \mbox{d}v}{ \mbox{d}t}= \frac{ x'(t) x''(t)+ y'(t) y''(t)+ z'(t) z''(t)}{ \sqrt{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }} (po to wypisałem wzór na prędkość na początku.)

Teraz zgodnie z tym że są to te same przyspieszenia zapisujemy

a= \sqrt{a_n^2 +a_{\tau}^2}

\sqrt{\left( x''(t)\right)^2 +\left( y''(t)\right)^2 +\left( z''(t)\right)^2 }= \sqrt{\left(  \frac{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }{{\red{\rho (t)}}}\right)^2+\left(\frac{ x'(t) x''(t)+ y'(t) y''(t)+ z'(t) z''(t)}{ \sqrt{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }} \right)^2  }

Po kilku rutynowych przekształceniach otrzymujemy wzór na \rho (t) zależny od określonej krzywej w sposób parametryczny i od punktu t
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2017, o 21:03 
Użytkownik

Posty: 3083
Ta metoda wymaga więcej i bardziej skomplikowanych obliczeń.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Geometria różniczkowa - zadanie 7  kkinguus  3
 Geometria Różniczkowa - zadanie 9  Bad Shadow  3
 Geometria rózniczkowa  gosia301  0
 geometria różniczkowa - zadanie 6  renata92  3
 geometria różniczkowa - zadanie 4  moli015  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl