szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2017, o 23:44 
Użytkownik

Posty: 398
Mam problem ze zbadaniem granicy ciągu:
a_{n} = n \cdot \sin \left( \frac{2}{n} \right)
Wiem, że przy \lim_{ x\to 0 } \frac{\sin x}{x}=1 , ale powinienem badać przy \lim_{ n\to \infty } i wtedy to mi się nie zgadza z odpowiedzią. Czy mogę prosić o rozpisanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2017, o 23:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3401
Lokalizacja: Krk
Spróbuj rozpisać ze wzoru na sinus podwojonego kąta.
\frac{2}{n}=2\cdot \frac{1}{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2017, o 00:01 
Użytkownik

Posty: 398
\lim_{ n\to \infty } n \cdot \sin \frac{2}{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{\sin 2 \cdot \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{2 \cdot \sin \frac{1}{n} \cdot \cos \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} }

O ile wiemy, że \lim_{ n\to \infty } \cos \frac{1}{n}=1 , to co z sinusem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2017, o 00:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3401
Lokalizacja: Krk
W pierwszym poście zapisałeś bardzo przydatną granicę. Jeżeli n dąży do nieskończoności to do czego dąży \frac{1}{n} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2017, o 00:12 
Użytkownik

Posty: 398
\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 , ale \lim_{n \to \infty } \frac{\sin \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} }=0 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2017, o 00:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3401
Lokalizacja: Krk
Nie rozpatruj tego w ten sposób. Rozpisz sobie swoją granicę z pierwszego postu. Podstaw tam x=\frac{1}{n}. Ogólnie rozpatrywanie poszczególnych składników z osobna granicy to nie zawsze jest dobry pomysł.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2017, o 00:20 
Użytkownik

Posty: 398
Już rozumiem! Podstawiając x=\frac{1}{n} zamieniam \lim_{ x\to 0 } i wszystko się zgadza. Dzięki bardzo.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu sin  danielsawicki24  6
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl