szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2017, o 23:16 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Kraków
Mam wzór \lim_{x \to 0 }  \frac{\sin x}{x} = 1
Moje pytanie brzmi, co zrobić jeżeli x \rightarrow 3 a granica wygląda następująco \lim_{x \to 3}  \sin (3-x) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2017, o 23:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Po prostu podstawić x=3, tu nie ma żadnego symbolu nieoznaczonego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2017, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Kraków
Tak teraz nie ma, ale chodzi mi ogólnie, bo mam granicę gdzie nie moge tego podstawić bo jest 0/0. I czy moge to zrobić dzieląc przez (3-x) i mnożąc przez to samo ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2017, o 23:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
A można, jak najbardziej, jeszcze jak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2017, o 23:22 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Kraków
\lim_{ x\to3 }  \frac{\sin (3-x)}{(3-x)}  \cdot (3-x) czy to poprawne zastosowanie wzoru? Ułamek w kółeczko, dąży do 1 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2017, o 23:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2017, o 23:28 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Kraków
Nie rozumiem zatem dlaczego w tych wzorach x->0 ? Taki symboliczny zapis, że argument funkcji ma zmierzać do zero?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 gru 2017, o 23:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Ojej, no to nie przeczy temu, że zastosowanie tego wzoru jest ogólniejsze. Skorzystamy z definicji Heinego granicy funkcji.
Powiedzmy, że \lim_{x \to x_0}f(x)=a
Jeżeli funkcja g jest taka, że \lim_{x \to x_1} g(x)=x_0, to znaczy, że dla każdego ciągu (x_n), \ x_n\neq x_1 spełniającego \lim_{n \to  \infty }x_n=x_1 mamy
\lim_{n \to  \infty }g(x_n)=x_0. Ustalmy dowolny taki ciąg (x_n). Wtedy y_n=g(x_n) jest ciągiem zbieżnym do x_0, więc z definicji Heinego granicy funkcji dla
funkcji f w punkcie x_0 mamy \lim_{n \to \infty  }f(g(x_n))=a,
co wobec dowolności (x_n)\rightarrow x_1, \ x_n \neq x_1 pokazuje, że
jeśli
\lim_{x \to x_1} g(x)=x_0 i \lim_{x \to x_0} f(x)=a, to
\lim_{x \to x_1}f(g(x))=a.
W szczególności skoro wiemy, że
\lim_{x \to 0}  \frac{\sin x}{x} =1, to biorąc f(x)=\frac{\sin x}{x}, \ g(x)=3-x, \ x_1=3, \ x_0=0 mamy, że
\lim_{x \to 3} \frac{\sin(3-x)}{3-x}=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2017, o 18:52 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Kraków
Super, dzięki za wytłumaczenie. Żeby nie zakładać nowego tematu chciałbym jeszcze spytać o inny wzór.
\lim_{x \to0 }  \frac{(\tg(4x))^{2} }{(4x)^{2}}  \cdot (4x)^{2}
Taki ruch można wykonać gdy tg jest podnoszony cały do kwadratu? Czy tylko gdy sam argument podnosimy do 2 potęgi?

I druga rzecz, która nie daje mi spokoju:

\lim_{ x\to5 }  \frac{\sin(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+5)}

Czy następująca sytuacja jest analogiczna do poprzednich?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2017, o 23:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Tak, można, bo przecież skoro
\lim_{x \to 0} \frac{\tg(4x)}{4x}=1, to także
\lim_{x \to 0}\left( \frac{\tg(4x)}{4x}\right)^2=1


W tym przykładzie z \lim_{ x\to5 } \frac{\sin(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+5)} też można analogicznie postąpić, jak na spokojnie przeczytasz ze zrozumieniem mój poprzedni post, to będzie to jasne.
A w ogóle to nie jest w dobrym guście pisać \sin(x-5)(x+5) itd., bo nie bardzo wiadomo, czy chodzi o (x+5)\sin(x-5), czy o \sin\left( (x+5)(x-5)\right), ale tutaj akurat nie robi to różnicy, i tak granica wyniesie 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 gru 2017, o 16:06 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Kraków
Tak już zrozumiałem idee podstawiania. Mi to tłumaczyli że podstawiam za u=(3-x)  i  \lim_{ x\to3 } u=0 wtedy \lim_{ u\to u_{0}  } f(u)=...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczanie granicy ciągu - zadanie 14  lvcky  1
 Wyznaczanie granicy ciągu - silnia, kryterium d'Alemberta  whatsup1  3
 Korzystając z definicji granicy właściwej/niewłaściwej  Zellus  4
 Interpretacja granicy  matematyka464  1
 własność granicy  xtremalny  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl