szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2017, o 14:41 
Użytkownik

Posty: 81
Lokalizacja: Toruń
Wesołych świąt, robię zadania powtórzeniowe do matury i natknąłem się na błąd. Chciałbym się upewnić, czy to mój, czy podręczinka.

a _{n}= \frac{1+5+25+...+ 5^{n} }{3-5 ^{n+1} }

Mój wynik to
\lim_{n \to \infty  }a _{n} =- \frac{1}{20}

Odpowiedź z tyłu natomiast mówi:

\lim_{n \to \infty  }a _{n} =- \frac{1}{4}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2017, o 14:50 
Użytkownik

Posty: 12660
Niech a_n=-1-5-\ldots-5^n, \ b_n=5^{n+1}-3.
Wówczas oczywiście \lim_{n \to  \infty }b_n=+\infty
oraz
\lim_{n \to  \infty } \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=- \frac{5^n}{4\cdot 5^n}  =-\frac 1 4,
zatem na mocy twierdzenia Stolza
\lim_{n \to  \infty } \frac{a_n}{b_n} =-\frac 1 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2017, o 14:56 
Użytkownik

Posty: 15372
Lokalizacja: Bydgoszcz
Lub prościej: 1+5+5^2+\dots+5^n=\frac{1-5^{n+1}}{1-5}, bo to wszak ciąg geometryczny
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2017, o 14:58 
Użytkownik

Posty: 81
Lokalizacja: Toruń
Zatem proszę rozwiązać mój niezamierzony sofizmat:

\lim_{n \to \infty  }a _{n} = \frac{ \frac{1-5 ^{n} }{-4} }{3-5*5 ^{n} } = \lim_{n \to \infty  }a _{n} =  \frac{1-5 ^{n} }{20*5 ^{n}-12 }=\lim_{n \to \infty  }a _{n} =  \frac{5 ^{n}( \frac{1}{5 ^{n} }-1 ) }{5 ^{n}(20- \frac{12}{5 ^{n} } ) } =- \frac{1}{20}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2017, o 15:03 
Użytkownik

Posty: 12660
Cytuj:
\lim_{n \to \infty }a _{n} =  \lim_{n \to  \infty } \frac{ \frac{1-5 ^{n} }{-4} }{3-5*5 ^{n} }

Źle zsumowałeś licznik (pomyliły Ci się pewnie współczynniki we wzorze na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego), powinno być:
\lim_{n \to  \infty }a_n= \lim_{n \to  \infty } \frac{ \frac{1-5^{{\red n+1}}}{-4} }{3-5\cdot 5^n}

A że ja nie zauważyłem ciągu geometrycznego, to inna sprawa, muszę się lepiej wysypiać. :|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2017, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 81
Lokalizacja: Toruń
Wzór jest taki:

S _{n} =a _{1} \cdot  \frac{1-q ^{n} }{1-q}

No, a q=5

Więc skąd się bierze w wykładniku n+1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2017, o 15:14 
Gość Specjalny

Posty: 5802
Lokalizacja: Toruń
Zauważ, że
a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n = a_1 ( 1 + q + \ldots + q^n ).
Zatem
a_1 (1 + q + \ldots + q^n) (1 - q) = a_1 (1 + q + \ldots + q^n) - a_1 (q + q^2 + \ldots + q^{n+1} ) = a_1 ( 1 + q + \ldots + q^n - q - q^2 - \ldots - q^{n+1}) = a_1 (1 - q^{n+1}),
więc
a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n  = a_1 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 gru 2017, o 15:18 
Użytkownik

Posty: 15372
Lokalizacja: Bydgoszcz
deciver napisał(a):
Wzór jest taki:

S _{n} =a _{1} \cdot  \frac{1-q ^{n} }{1-q}

No, a q=5

Więc skąd się bierze w wykładniku n+1?


Poniekąd masz rację. To jest wzór na sumę n wyrazów, zaczynając od zerowego. Ale w Twojej sumie wyrazów jest n+1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całkowanie szeregu, gdzie jest błąd?  Archie  2
 Badanie zbieżności ciągu, gdzie jest błąd w moim rozumowaniu  Maldoran  2
 Bład w dowodzie?  Alister  4
 Granice ciągów - domniemane błędy w odpowiedziach  Majeskas  5
 Granica ciągu - błąd w odp?  R33  15
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl