szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 28 gru 2017, o 16:34 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Gliwice
Cześć,

proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:

d_n = \sqrt{n^4-3n}(\sqrt[3]{1-n^3}+n)

Oczywiście trzeba znaleźć granicę.

Dziękuję za wszelkie podpowiedzi.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 28 gru 2017, o 16:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Zastosuj:
a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}
dla a=\sqrt[3]{1-n^3}, \ b=n
Ponadto \sqrt{n^4-3n}=n^2\sqrt{1-\frac{3}{n^3}} .
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 28 gru 2017, o 21:26 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Gliwice
Premislav napisał(a):
Zastosuj:
a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}
dla a=\sqrt[3]{1-n^3}, \ b=n
Ponadto \sqrt{n^4-3n}=n^2\sqrt{1-\frac{3}{n^3}} .

Rozbiłam granicę na dwa ciągi x_n = \sqrt{n^4-3n}, y_n = \sqrt[3]{1-n^3}+n .
Licząc tę drugą, wychodzi \frac{1}{3} jak w odpowiedziach, natomiast w pierwszej zostawałoby n^2 . Z twierdzenia o arytmetyce ciągów powinno być \lim_{n\rightarrow\infty}x_n \cdot \lim_{n\rightarrow\infty}y_n = x \cdot y gdzie x i y są granicami ciągów.

Jak to do końca rozgryźć?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 28 gru 2017, o 21:41 
Użytkownik

Posty: 15823
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jak rozbijesz i poprawnie policzysz granice, to Ci wyjedzie symbol nieoznaczony. Dostałeś wskazówkę. Nie chcesz skorzystać - Twój problem.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 28 gru 2017, o 21:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Jak pokażesz swoje obliczenia, to znajdziemy błąd. Myślę, że to Ci się bardziej przyda niż rozwiązanie, bo może więcej podobna pomyłka Ci się nie przydarzy.

Mnie się nie chce tak przekształcać, jak pisałem (to najbardziej elementarna metoda, ale i dość żmudna), więc zamiast tego zapiszę tak: na mocy twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji f(x)=x^{\frac 1 3} i punktów n^3, \ n^3-1 otrzymujemy:
\sqrt[3]{1-n^3}+n=\sqrt[3]{n^3}-\sqrt[3]{n^3-1}=(n^3-(n^3-1))\cdot \frac{1}{3c^{\frac 2 3}} , gdzie c \in \left( n^3-1, n^3\right) .
Zatem możemy oszacować:
\frac{1}{3n^2} \le \sqrt[3]{1-n^3}+n \le \frac{1}{3\left( n^3-1\right)^{\frac 2 3} }
i dalej łatwo wychodzi z tw. o trzech ciągach i ze wspomnianego fakciku:
\sqrt{n^4-3n}=n^2\sqrt{1-\frac{3}{n^3}} .
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 28 gru 2017, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Gliwice
Premislav napisał(a):
Jak pokażesz swoje obliczenia, to znajdziemy błąd. Myślę, że to Ci się bardziej przyda niż rozwiązanie, bo może więcej podobna pomyłka Ci się nie przydarzy.

Mnie się nie chce tak przekształcać, jak pisałem (to najbardziej elementarna metoda, ale i dość żmudna), więc zamiast tego zapiszę tak: na mocy twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji f(x)=x^{\frac 1 3} i punktów n^3, \ n^3-1 otrzymujemy:
\sqrt[3]{1-n^3}+n=\sqrt[3]{n^3}-\sqrt[3]{n^3-1}=(n^3-(n^3-1))\cdot \frac{1}{3c^{\frac 2 3}} , gdzie c \in \left( n^3-1, n^3\right) .
Zatem możemy oszacować:
\frac{1}{3n^2} \le \sqrt[3]{1-n^3}+n \le \frac{1}{3\left( n^3-1\right)^{\frac 2 3} }
i dalej łatwo wychodzi z tw. o trzech ciągach i ze wspomnianego fakciku:
\sqrt{n^4-3n}=n^2\sqrt{1-\frac{3}{n^3}} .

Moje obliczenia:
x_n = \sqrt{n^4-3n} = n^2\sqrt{1-\frac{3}{n^3}}
\newline
y_n = \sqrt[3]{1-n^3}+n = \frac{1-n^3+n^3}{\sqrt[3]{n^6-2n^3+1}-n\sqrt[3]{1-n^3}+n^3} = \frac{1}{\sqrt[3]{n^6-2n^3+1}-\sqrt[3]{n^3-n^6}+n^3}

I w sumie to jest wszystko, co mogę napisać. Nawet źle tą granicę wcześniej obliczyłam, bo z tego co tu teraz wychodzi, granicą ciągu y_n byłoby 0 .

Proszę się nie sugerować wypowiedzią użytkownika a4karo - jak najbardziej skorzystałam ze wskazówek; ewentualnie zrobiłam to źle.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 28 gru 2017, o 23:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13168
Lokalizacja: Wrocław
Mendzik napisał(a):
y_n = \sqrt[3]{1-n^3}+n = \frac{1-n^3+n^3}{\sqrt[3]{n^6-2n^3+1}-n\sqrt[3]{1-n^3}+n^3}

W tym miejscu już jest błąd, konkretnie w mianowniku.
Powinno być (przeanalizuj to sobie na spokojnie):
y_n=\frac{1-n^3+n^3}{\sqrt[3]{n^6-2n^3+1}-n\sqrt[3]{1-n^3}+n^{{\red 2}}}
Teraz można zauważyć, że
-n\sqrt[3]{1-n^3}=n\sqrt[3]{n^3-1}
i wyciągnąć n^2 w mianowniku: rzecz jasna
\sqrt[3]{n^6-2n^2+1}=\sqrt[3]{n^6\left( 1-\frac{2}{n^3}+\frac{1}{n^6}\right) }=n^2 \sqrt[3]{1-\frac{2}{n^3}+\frac{1}{n^6}}
i tak dalej.
Góra
Kobieta Offline
 Tytuł: Granica ciągu
PostNapisane: 29 gru 2017, o 00:35 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Gliwice
Premislav napisał(a):
Mendzik napisał(a):
y_n = \sqrt[3]{1-n^3}+n = \frac{1-n^3+n^3}{\sqrt[3]{n^6-2n^3+1}-n\sqrt[3]{1-n^3}+n^3}

W tym miejscu już jest błąd, konkretnie w mianowniku.
Powinno być (przeanalizuj to sobie na spokojnie):
y_n=\frac{1-n^3+n^3}{\sqrt[3]{n^6-2n^3+1}-n\sqrt[3]{1-n^3}+n^{{\red 2}}}
Teraz można zauważyć, że
-n\sqrt[3]{1-n^3}=n\sqrt[3]{n^3-1}
i wyciągnąć n^2 w mianowniku: rzecz jasna
\sqrt[3]{n^6-2n^2+1}=\sqrt[3]{n^6\left( 1-\frac{2}{n^3}+\frac{1}{n^6}\right) }=n^2 \sqrt[3]{1-\frac{2}{n^3}+\frac{1}{n^6}}
i tak dalej.

Już wszystko pasuje. Dzięki wielkie za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica ciagu  oczek  4
 Granica ciągu - zadanie 2  rubo  1
 Granica ciągu - zadanie 3  rubo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl