szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2017, o 17:46 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Tychy
Cześć.

Potrzebuje nieco pomocy, bo utknąłem z równaniem rekurencyjnym.

Udowodnij przez indukcję matematyczną, że rozwiązaniem równania rekurencyjnego:

\begin{cases}
0&\text{dla }n = 0 \\
1&\text{dla }n = 1 \\
8a (n - 1) - 7a (n - 2)&\text{dla pozostałych}
\end{cases}

jest:

\frac{\left( 7^{n} - 1\right) }{6}

Póki co udało mi się dotrzeć do takiego miejsca:

T\left( n\right) = \frac{\left( 7^{n} - 1\right) }{6}

T\left( n + 1\right) = 8T \left( n\right) -7T \left( n - 1\right) = 8\left( \frac{\left( 7^{n} - 1\right) }{6}\right) - 7T (n-1) = ...???

Nie wiem, co mam dalej zrobić, czy mógłby ktoś pomóc?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2017, o 18:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11872
Lokalizacja: Wrocław
Cześć.
Powinieneś z prawdziwości T(0), \ T(1) oraz z tego, że dla dowolnego n\ge 1 prawdziwość T(n-1) i T(n) implikuje prawdziwość T(n+1) wywnioskować, że T(n) jest prawdziwe dla dowolnego n=0,1,2,3\ldots
Dla 0 i 1 to proste podstawianie. Dalej,
jeżeli a(n-1)= \frac{7^{n-1}-1}{6} \wedge a(n)=\frac{7^n-1}{6} dla pewnego n \ge 1 , to
a(n+1)=8a(n)-7a(n-1)=8\cdot \frac{7^n-1}{6}-7\cdot \frac{7^{n-1}-1}{6}=\\=\frac{7^n-1}{6}+7\cdot \left( \frac{7^n-1}{6}- \frac{7^{n-1}-1}{6} \right)=\frac{7^n-1}{6}+ \frac{7^{n+1}-7^n}{6}=\frac{7^{n+1}-1}{6}
czyli to, co było nam potrzebne.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Układanie liczb o różnych cyfrach podzielnych przez...  birdy1986  4
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 równanie - zadanie 4  fishman4  2
 Rozwiąż równanie z silnią  kuzio87  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl