szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Wzór na sumę
PostNapisane: 30 gru 2017, o 16:28 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Tychy
Witam!

Mam do rozwikłania następujące zadanko:

Wzór na sumę:

Oblicz:

a) 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + ... + n \cdot n!

b) 1 +  \frac{1}{6} +  \frac{1}{ 6^{2} } +  \frac{1}{ 6^{3} } + ...

c) \frac{1}{1 \cdot 2} +  \frac{1}{2 \cdot 3} +  \frac{1}{3 \cdot 4} + ...

I teraz tak:
Czy w punktach b i c muszę dopisać wartości z niewiadomą n (bo w poleceniu zadania tego nie mam)?

Czyli dla podpunktów b i c byłoby:

b) 1 +  \frac{1}{6} +  \frac{1}{ 6^{2} } +  \frac{1}{ 6^{3} } + ... +  \frac{1}{ 6^{n-1} }

c) \frac{1}{1 \cdot 2} +  \frac{1}{2 \cdot 3} +  \frac{1}{3 \cdot 4} + ... +  \frac{1}{n \cdot \left( n+1\right) }

I teraz nie wiem co dalej. Czy mogę liczyć na jakieś podpowiedzi?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Wzór na sumę
PostNapisane: 30 gru 2017, o 16:37 
Użytkownik

Posty: 615
Drugie to suma szeregu geometrycznego gdzie q to iloraz ciągu.

Jeżeli \left| q\right| <1 to suma wynosi S= \frac{a _{1} }{1-q}

Pozostałę dwa przykłady są trickowe. Wystarczy, że wpiszesz w google i wyskoczą Ci rozwiązania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 gru 2017, o 16:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: hrubielowo
Wskazówka do:
a) \left( n+1\right)!-n!=n \cdot n! wysumuj stronami po 1,2,3,...,n
b) już jest
c) rozłóż na ułamki proste ułamek \frac{1}{n(n+1)} i podobnie jak w a) wysumuj stronami.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 30 gru 2017, o 16:46 
Użytkownik

Posty: 15836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Generalnie w tego typu zadaniach przed napisaniem posta wystarczy policzyć parę pierwszych wyrazów i zwykle sprawa staje się jasna (a raczej jasna staje się teza, którą potem prosto udowodnić).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2018, o 16:15 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Tychy
Bardzo dziękuję za wskazówki!

Janusz Tracz napisał(a):
Wskazówka do:
a) \left( n+1\right)!-n!=n \cdot n! wysumuj stronami po 1,2,3,...,n
b) już jest
c) rozłóż na ułamki proste ułamek \frac{1}{n(n+1)} i podobnie jak w a) wysumuj stronami.



Rozpisałem sobie coś takiego, ale nie jestem pewien czy dobrze myślę:

Podpunkt a)
1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + ... + n \cdot n!

S\left( 1\right) = 1 \cdot 1! = 1

S\left( 2\right) = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! = 1 + 4 = 5
S\left( 2\right) = 3! - 1

S\left( 3\right) = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! = 1 + 4 + 18 = 23
S\left( 3\right) = 4! - 1

Więc:

S\left( n\right) = \left( n+1\right)! - 1

Podpunkt c)
\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + ...

S\left( 1\right) =  \frac{1}{1 \cdot 2} =  \frac{1}{2}

S\left( 2\right) =  \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} =  \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}

S\left( 3\right) =  \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} =  \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{4}

Więc:

S\left( n\right) = \frac{n}{n+1}


Czy to wszystko, czy coś jeszcze muszę obliczać? Czy mój tok myślenia jest poprawny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sty 2018, o 17:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13183
Lokalizacja: Wrocław
No, obliczenia są OK, ale jeszcze musisz udowodnić, że dla każdego n\in \NN^+ te wzory są prawdziwe, np. za pomocą indukcji matematycznej albo tak jak zasugerowano powyżej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wzór na sumę  picassek  3
 Wzór na sumę - zadanie 4  LuckyLuke  7
 wzór na sumę - zadanie 5  Jozekban  11
 Wzór na sumę - zadanie 3  paluch102  1
 wzór na sumę - zadanie 2  wmmpw  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl