szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2017, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Warszawa
Witam, jestem nowy na forum, więc proszę o wyrozumiałość i poprawienie w razie czego :wink: Przechodząc do rzeczy, w książce ,,Rachunek różniczkowy i całkowy" Kazimierza Kuratowskiego znalazłem zadanie na zastosowanie indukcji, przykład wydaje się niezbyt skomplikowany, ale mimo prób nie dałem rady go zrobić :( Treść brzmi następująco ,,Udowodnić, że dla każdego naturalnego n i każdego rzeczywistego a \ge -1 zachodzi następujący wzór (stanowiący uogólnienie nierówności Bernoulliego):
(1+a) ^{n}  \ge 1+na+ \frac{n(n-1)}{2} a ^{2} +\frac{n(n-1)(n-2)}{6} a ^{3}
Proszę o jakieś wskazówki, pomoc, cokolwiek :roll:
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2017, o 01:27 
Moderator

Posty: 1972
Lokalizacja: Trzebiatów
Pokaż co otrzymałeś w n + 1 kroku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2017, o 01:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12429
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
To zadanie już się pojawiło:
424566.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2017, o 01:37 
Użytkownik

Posty: 15095
Lokalizacja: Bydgoszcz
Próbowałeś indukcją? Nie powinno być trudne

Można to uzasadnić takim ładnym faktem odkrytym przez Popoviciu w 1933 roku:
funkcja po prawej stronie (jeżeli zamiast n napisać x )jest wielomianem interpolującym funkcję (1+a)^x w punktach 0,1,2,3. A wielomiany interpolujące trzeciego stopnia dla funkcji spełniających f''''>0 nie mają z nią innych punktów wspólnych

Dowód np tu: Bullen, P. S. A criterion for n-convexity. Pacific J. Math. 36 (1971) 81–98.


EDIT: Widzę, że Premislav już to zrobił indukcją
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja nierówności z potęgami  pasta36  1
 Indukcyjne uzasadnienie twierdzenia (nierówności)  ronisert  2
 dowód indukcyjny nierówności - zadanie 6  gazdax1  1
 Dowód nierówności (najlepiej indukcją)  jaodryska  4
 Wykazać indukcyjnie prawdziwość nierówności.  Wolfik  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl