szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2018, o 10:32 
Użytkownik

Posty: 323
Lokalizacja: Opole
Szukamy granicy ciągu
a_{n}= \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot  2^{2}+3 \cdot  2^{3}+...+n \cdot  2^{n}   }.
Oszacowanie z dołu rozumiem: \sqrt[n]{ 2^{n} }.
Oszacowanie z góry podają następujące: \sqrt[n]{ n^{2} 2^{n}  }.
Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć krok po kroku jak dojść do górnego oszacowania? Domyślam się, że 1, 2, 3, ... zastępujemy każdorazowo przez n, ale czy ostatnie n też zwiększamy n razy? I jaki tego będzie skutek?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2018, o 10:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1486
Lokalizacja: hrubielowo
Oszacowanie górne bierze się z

1 \cdot 2 \le  n  \cdot 2^n

2 \cdot 2^2  \le  n \cdot 2^n

3 \cdot 2^3 \le  n \cdot 2^n

...

n \cdot 2^n \le  n \cdot 2^n

sumując stronami dostaniesz tezę
Ale pewnie można to oszacować przy użyciu nierówność Cauchy’ego-Schwarza
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2018, o 11:05 
Użytkownik

Posty: 323
Lokalizacja: Opole
A to dlatego "zwykła" algebra mi tu nie działała :) Dziękuję!!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2018, o 12:09 
Użytkownik

Posty: 12660
Tak w ogóle to sumę spod pierwiastka można zwinąć, choć generalnie lepiej się przyzwyczajać do tw. o trzech ciągach i rozwiązać to jak wyżej już zaproponował Janusz Tracz, gdyż nie wszystkie sumy można sensownie przedstawić w wygodnej zwartej postaci.

Niech S_n={1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n}= \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k.
Wówczas
2S_n=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+3\cdot 2^4+\ldots+n\cdot 2^{n+1}=\\= \sum_{k=1}^{n} k\cdot 2^{k+1}= \sum_{k=1}^{n} (k+1-1)2^{k+1}=\\= \sum_{k=1}^{n}(k+1)\cdot 2^{k+1}- \sum_{k=1}^{n}2^{k+1}=\\= \sum_{k=2}^{n+1}k\cdot 2^k-\left( 2^{n+2}-4\right)=\\=-2+ \sum_{k=1}^{n+1}k\cdot 2^k-(2^{n+2}-4)
czyli
2S_n=S_{n+1}-(2^{n+2}-2) \ (*)
Z drugiej strony oczywiście
S_{n+1}=S_n+(n+1)\cdot 2^{n+1}, więc po wstawieniu tego do równości (*)
otrzymamy S_n=(n+1)\cdot 2^{n+1}-(2^{n+2}-2)=(n-1)2^{n+1}+2
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica funkcji/funkcja odwrotna.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl