szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2018, o 17:20 
Użytkownik

Posty: 323
Lokalizacja: Opole
Zastanawiam się, czy umiałby ktoś wymyślić zadanie na zastosowanie pięknego oszacowania: \log \left( n-1\right) \cdot \log\left( n+1\right) < \log^{2}n w tw. o 3 ciągach?

-- 4 sty 2018, o 08:53 --

A może taki ciąg? Dla n>1

a _{n} = \frac{\log\left( n-1\right)  \cdot \log\left( n+1\right) }{ n^{2}-1 }. Wydaje się, że dąży do 0. Teraz tylko, czy uda się to pokazać z tw. o 3 ciągach?

-- 4 sty 2018, o 15:02 --

Premislav! Ty też nie???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2018, o 17:50 
Użytkownik

Posty: 12648
Lepiej byłoby wziąć* na przykład taki ciąg:
a_n=\frac{\log\left( n-1\right) \cdot \log\left( n+1\right) }{ n^{2}+1 }, \ n>1,
(jedynkę w mianowniku można zastąpić dowolną stałą c\ge 0 i dalej będzie dobrze),
choć powyższy też na upartego można.
Wówczas 0\le  \frac{\log(n-1)\log(n+1)}{n^2+1}  \le  \frac{\log^2 n}{n^2}=\left( \frac{\log n}{n}\right)^2
a znanym faktem jest, że
\lim_{n \to  \infty } \frac{\log n}{n}=0
(sposobów na udowodnienie tego jest masa, choć większość niezbyt elementarna: twierdzenie Stolza, reguła de l'Hospitala dla granicy funkcji \lim_{x \to  \infty }\frac{\log x}{x} i powołanie się na definicję Heinego granicy niewłaściwej funkcji, a stosunkowo elementarny to dałbym taki:
\log n=2\log\sqrt{n}<2\sqrt{n} dla n\ge 1)


* Wszakże \frac{\log(n-1)\log(n+1)}{n^2-1}= \frac{\log(n-1)}{n-1} \cdot  \frac{\log(n+1)}{n+1} dla n>1 i już można skorzystać z granicy
\lim_{n \to  \infty }  \frac{\log n}{n} =0 i z tw. o granicy iloczynu, więc śmiesznie wyglądałoby w tym miejscu korzystanie z nierówności \log(n-1)\log(n+1)}<\log^2  n, bo to utrudnia zadanie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 Oblicz granicę ciagu  :)  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl