szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2018, o 13:15 
Użytkownik

Posty: 161
Lokalizacja: małopolska
Mam zbadać granice i monotoniczność ciągu

a_{n}= \left(  \frac{2n + 100 }{3n + 1} \right)^{n}

Zacząłem to robić tak:
\lim_{n \to  \infty } \left(  \frac{2n + 100 }{3n + 1} \right)^{n} =\lim_{n \to  \infty } \left(  \frac{3n + 1}{3n + 1} +  \frac{99-n}{3n+1}  \right)^{n} = \lim_{n \to  \infty } \left[  \left( 1 + \frac{99-n}{3n+1} \right) ^{ \frac{3n+1}{99-n} }\right]^{\frac{99-n}{3n+1}  \cdot  n} = exp \left( \lim_{n \to  \infty } \frac{99-n}{3n+1}  \cdot  n  \right)

Pytanie, czy do tego momentu jest dobrze i jak to dalej policzyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2018, o 13:30 
Użytkownik

Posty: 12648
Jest źle, gdyż nieprawdą jest, że
\lim_{n \to \infty  }  \frac{99-n}{3n+1} =0. To nie działa tak, że możesz tu sobie wstawić cokolwiek, np.
\lim_{x \to \text{spodnie babci Jadzi}} \left( 1+x \right)^{\frac 1 x}=e, lecz konkretnie
\lim_{x \to {\red 0}} \left( 1+x \right)^{\frac 1 x}=e.

Co do rozwiązania zadania, 0<\frac{2n+100}{3n+1}<\frac{3}{4} dla dostatecznie dużych n, a to dlatego, że \lim_{n \to  \infty }\frac{2n+100}{3n+1}=\frac 2 3.


A monotoniczność to jakieś hovno, pewnie od pewnego miejsca ciąg ten jest malejący, zważywszy na relację między jego początkowymi wyrazami a granicą. Zapewne w tym przypadku w celu zbadania monotoniczności lepiej badać \frac{a_{n+1}}{a_n} (tj. sprawdzić kiedy to przekracza 1, bo wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są tu dodatnie) niż a_{n+1}-a_n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2018, o 13:48 
Użytkownik

Posty: 161
Lokalizacja: małopolska
a to nie zwróciłem uwagi na ten warunek, że musi być \lim_{n \to 0 } \left( 1 + n\right)^{ \frac{1}{n} } Dzięki za uwagę :)

To w takim razie jak zacząć liczyć tę granicę?
Czy wyjść od tego, że \lim_{n \to   \infty } \left(  \frac{2n +100}{3n +1}<0 \right)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2018, o 13:57 
Użytkownik

Posty: 12648
Cytuj:
To w takim razie jak zacząć liczyć tę granicę?

Zacząć od powyższego szacowania (przeze mnie napisanego), podnieść nierówności do potęgi n i skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

-- 5 sty 2018, o 13:58 --

Na pewnym poziomie można też od razu stwierdzić, że wynikiem jest 0, gdyż
\lim_{n \to  \infty } \frac{2n + 100 }{3n + 1}=\frac 2 3 oraz oczywiście
\lim_{n \to  +\infty } n=+\infty
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2018, o 07:53 
Użytkownik

Posty: 161
Lokalizacja: małopolska
ok. jeżeli chodzi o granice, to wszystko jasne, dzięki za pomoc :)
a jeżeli chodzi o monotoniczność, to pytam w kontekście.. szeregu - kryterium Leibniza :)
dlatego ja myślałem, żeby pójść jedną z następujących dróg, jeżeli chodzi o rozwiązanie:
a) zbadać \frac{a_{n+1}}{a_n} - czyli to, co ty proponowałeś
b) zbadać dla jakich n (jeżeli w ogóle) zachodzi a_{n+1} > a_{n}, ale to sprowadza się chyba w praktyce do a)
c) zauważyć, że \frac{2n+100}{3n+1}<1, gdy n >99, czyli począwszy od n=99 ciąg jest malejący
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2018, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 12648
Wyznam szczerze, że propozycji c) nie rozumiem, tak samo np.
0<1-\frac{1}{n}<1 dla n\ge 2, lecz ciąg
a_n=\left( 1-\frac 1 n\right)^n jest dla n\ge 2 rosnący, a nie malejący.

Moim zdaniem to pierwsze najprostsze, mnie wyszło coś takiego:
\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{\left( \frac{2n+2 + 100 }{3n + 4} \right)^{n+1}
}{\left( \frac{2n + 100 }{3n + 1} \right)^{n}}=\left( \frac{2n+2 + 100 }{3n + 4} \right)\cdot \left( \frac{2n+2+100}{3n+4} \cdot  \frac{3n+1}{2n+100}   \right)^n 
}
i teraz, skoro to Ci jest potrzebne do kryterium Leibniza, to wystarczy pokazać, że to jest dla dostatecznie dużych n w przedziale (0,1) (czyli ciąg (a_n) jest od pewnego miejsca malejący). A to jest nietrudne, gdyż
\left( \frac{2n+2+100}{3n+4} \cdot \frac{3n+1}{2n+100} \right)^n }
<1
oraz
\lim_{n \to  \infty } \frac{2n+2 + 100 }{3n + 4}=\frac 2 3\in (0,1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 sty 2018, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 161
Lokalizacja: małopolska
to obliczenie \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ma sens :)
na początku nie chciałem, się za to brać, bo wydawało się, że będzie trochę skomplikowane,
więc dzięki za pomoc :)
co do c) - no nie pomyślałem, o tym "kontrprzykładzie" z 1- \frac{1}{n}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 (2 zadania) Zbadaj monotoniczność ciągów  Anonymous  4
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl