szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2018, o 20:34 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Rzeszów
Cześć czy mógłby ktoś wyjaśnić jak zrobić to zadanie? tzn rozwiązanie mam ale jakoś go nie rozumiem, albo mam źle napisane
Udowodnij, że dla n \ge 1 i a \in \RR zachodzi:

\sum_{k=1}^{n}  {n \choose k}   \frac{ a^{k} }{k}  =   \sum_{k=1}^{n}  \frac{ (a+1)^{k} - 1 }{k}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2018, o 22:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3232
Lokalizacja: blisko
Wskazówka:

Jest to prawda i jest to konsekwencja fajnej równości, którą możesz udowodnić indukcyjnie , a mianowicie:

\frac{{k \choose k} }{k}+  \frac{{k+1 \choose k} }{k+1}+...+  \frac{{n \choose k} }{n}= \frac{ {n \choose k} }{k}

Tę równość też nie kojarzyłem, ale pojawiła mi się w trakcie jak udowadniałem to zadanie,
Z początku wydawała mi się nieprawdziwa, ale szybko ją udowodniłem indukcyjnie...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 sty 2018, o 22:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11875
Lokalizacja: Wrocław
Ładne, nie kojarzyłem tego.

Dorzucę dwa brutalniejsze rozwiązania:

1.

niech f(a)=\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}\frac{a^k}{k}-\sum_{k=1}^{n} \frac{ (a+1)^{k} - 1 }{k} . Wówczas f(0)=0-0=0 , a ponadto:
f'(a)= \sum_{k=1}^{n} {n \choose k}a^{k-1}- \sum_{k=1}^{n}(a+1)^{k-1}=\\=\frac{1}{a}\left((1+a)^n-1\right)- \frac{1}{a} \left( (1+a)^n-1\right)=0
dla a\neq 0 , zatem f jest funkcją stale równą zero,
\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}\frac{a^k}{k}-\sum_{k=1}^{n} \frac{ (a+1)^{k} - 1 }{k}\equiv 0 , czyli dla każdego a\in \RR zachodzi:
\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}\frac{a^k}{k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{ (a+1)^{k} - 1 }{k}
c.n.d.

2.

P=\sum_{k=1}^{n} \frac{ (a+1)^{k} - 1 }{k}= \sum_{k=1}^{n} \frac 1 k\left( \sum_{l=0}^{k}{k\choose l}a^l -1\right)=\\= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \sum_{l=1}^{k}{k \choose l} a^l= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{k}\frac{1}{k}{k \choose l}a^l=\\= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{k}\frac{1}{l}{k-1 \choose l-1}a^l= \sum_{l=1}^{n} \frac{a^l}{l}\sum_{k=l}^{n} {k-1 \choose l-1}
i pozostaje uzasadnić, że:
\sum_{k=l}^{n} {k-1 \choose l-1}={n \choose l} ,
a do tego można ułożyć jakąś bajeczkę, a jak ktoś nie lubi bajeczek, to indukcja po n\ge l .
Pierwszy krok indukcyjny jest banalny. W drugim kroku indukcyjnym sprawę załatwia:
{n \choose l}+{n \choose l-1}={n+1 \choose l} (znana tożsamość).

Zatem uzyskaliśmy:
P= \sum_{l=1}^{n} {n \choose l}\frac{a^l}{l}=\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}\frac{a^k}{k}=L
c.n.d.

Skorzystałem z tożsamości \frac{1}{k}{k\choose l}=\frac{1}{l}{k-1\choose l-1}, \ k,l \in \NN^+ i ze zmiany kolejności sumowania.

-- 5 sty 2018, o 23:13 --

Oczywiście najszybsze, ale i najbrutalniejsze rozwiązanie to chyba po prostu stwierdzenie, że lewa strona tezy to:
\sum_{k=1}^{n}{n \choose k}\int_{0}^{a}x^{k-1} \,\dd x=\int_{0}^{a}\left( \sum_{k=1}^{n}{n \choose k} x^{k-1} \right) \,\dd x=\\= \int_{0}^{a} \frac{(1+x)^n-1}{x} \,\dd x= \int_{0}^{a}\left( \sum_{k=1}^{n} (1+x)^{k-1} \right) \,\dd x =\ldots
Równość:
\sum_{k=1}^{n} (1+x)^{k-1}=\frac{(1+x)^n-1}{x} dla x\neq 0 wynika z własności ciągu geometrycznego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2018, o 02:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3232
Lokalizacja: blisko
Jednak najładniejsze to Twoje pierwsze rozwiązanie, dydaktycznie ma największą wartość...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiazywanie rownania z uzyciem wzoru Newtona  birdy1986  7
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 dwumian newtona - zadanie 2  basia  1
 zad z symbolu newtona  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl