szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 sty 2018, o 18:15 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Wrocław
Mam duży problem z trzema zadaniami i próbowałam je rozgryźć na kilka sposobów, ale albo robię gdzieś błąd, albo po prostu mam złe podejście. Chodzi o przykłady poniżej, chce je uzasadnić lub udowodnić, ale nie kombinatorycznie.

  1. \sum_{n}^{k=1} {n \choose k} \frac{(-1) ^{k+1} }{k} = \sum_{n}^{k=1} \frac{1}{k}
    Myli mnie brak k+1 w mianowniku po lewej stronie, przez to nie mam pojęcia jak przez to przebrnąć.

  2. \sum_{n}^{k=2}k(k-1) {n \choose k} =n(n-1)2^{n-2}
    To próbowałam robić przez zwykłe wzory na sumy, jednak przez to, że k=2 , nie wychodziło mi to, co po lewej stronie, bo wzory działają dla k=0 lub k=1 .

  3. \sum_{l}^{k=0} {n \choose k} {m \choose l-k} = {m+n \choose l}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2018, o 19:19 
Użytkownik

Posty: 12616
1)
Indukcja po n, dla n=1 po obu stronach otrzymamy 1, zaś w drugim kroku indukcyjnym korzystamy z tożsamości {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}, \ k\ge 1
Czyli:
\sum_{k=1}^{n+1} {n+1 \choose k} \frac{(-1) ^{k+1} }{k}=\\=\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} \frac{(-1) ^{k+1} }{k} +\sum_{k=1}^{n} {n \choose k-1} \frac{(-1) ^{k+1} }{k}=[\text{ zał. indukcyjne}]=\\= \sum_{k=1}^{n}\frac 1 k+\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n}{n+1 \choose k}(-1)^{k+1}=\\= \sum_{k=1}^{n}\frac 1 k+\frac{1}{n+1}\left( 1- \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}(-1)^k\right) =\\= \sum_{k=1}^{n}\frac 1 k+\frac{1}{n+1}\left( 1-\left( 1-1\right)^{n+1} \right)= \sum_{k=1}^{n+1}\frac 1 k


2) Zauważ, że
k(k-1){n \choose k}=n(n-1){n-2\choose k-2} dla k=2,3\ldots n
(można to policzyć, rozpisując na silnie i skracając)
oraz że
\sum_{k=2}^{n} {n-2 \choose k-2}= \sum_{k=0}^{n-2} {n-2 \choose k}=2^{n-2}

3) To jest trudniejsze, pomyślę chwilę.

-- 6 sty 2018, o 20:14 --

Dobra, gdyby ktoś szukał niekombinatorycznego dowodu (3.), to mnie to akurat przerosło, ale macie tutaj:
https://www.cut-the-knot.org/arithmetic ... tion.shtml
Dowód nr 4 jest całkiem prosty, nawet bardzo.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij tożsamość - zadanie 28  KasienkaG  3
 Dwumian Newtona , udowodnij  aielek  1
 Udowodnij równanie ze wzorem Newtona  mean  3
 Udowodnij spójność grafu  vtvs  0
 uzasadnij wzor - zadanie 2  black_91  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl