szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2018, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: Rzeszów
Wyznaczyć promień zbieżności szeregu:

\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{2^{n}}}{3^{n!}} }
Jest to "dziurawy" szereg potęgowy \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^n gdzie:

a_{n} =   \frac{1}{3^{k!}} gdy n=2^{k}
a_{n} = 0 gdy n nie jest naturalną potęgą 2

Zatem R= \frac{1}{ \lim_{n \to  \infty }  \sqrt[n]{ \frac{1}{3^{k!}} } }=\frac{1}{ \lim_{k \to  \infty }  \sqrt[2^{k}]{ \frac{1}{3^{k!}} } }.

Od tego momentu już bym nie miał problemu, mam tylko wątpliwości co do zapisu. Można to zapisywać w ten sposób? Szczególnie zastanawiam się nad tym ostatnim przejściem. Jeżeli da się to lepiej rozwiązać to prosiłbym o pokazanie jak.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2018, o 21:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1142
Lokalizacja: hrubielowo
Trochę namieszałeś z definicją tego ciągu a_n. Spróbujmy tak, niech

\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{2^{n}}}{3^{n!}} }=\sum_{k=0}^{ \infty }a_kx^k

jest tak gdy

a_k= \begin{cases}  \frac{1}{3^{\left( \lg_{2} k\right) !}}  \ \text{dla}\  k\in\left\{ 2^0,2^1,2^2,2^3,...\right\}  \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \  \text{dla}\ k\not\in\left\{ 2^0, 2^1,2^2,2^3,...\right\}\end{cases}

Bardziej odpowiednie wydaje się zastosowanie wzoru R=  \frac{1}{\lim_{k \to  \infty }\sup  \sqrt[k]{\left| a_k\right| } } unikając zapisów w stylu \frac{1}{0}= \infty. Wtedy

\lim_{k \to  \infty }\sup  \sqrt[k]{\left| a_k\right| }= \lim_{p \to  \infty }  \sqrt[p]{ \frac{1}{3^{\left( \lg_2 p\right)! }} }

gdzie p jest podciągom po potęgach 2 czyli

R= \lim_{k \to  \infty } \sqrt[2^k]{3^{k!}}=1

stąd x\in\left( -1,1\right)

a podstawiając wartości końcowe łatwo przekonać się z tw Leibniza i kryterium porównawczego że promień zbieżności to

x\in\left[ -1,1\right]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2018, o 22:03 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: Rzeszów
Janusz Tracz napisał(a):
Trochę namieszałeś z definicją tego ciągu a_n. Spróbujmy tak, niech
Bardziej odpowiednie wydaje się zastosowanie wzoru R=  \frac{1}{\lim_{k \to  \infty }\sup  \sqrt[k]{\left| a_k\right| } } unikając zapisów w stylu \frac{1}{0}= \infty. Wtedy


Właśnie o to mi chodziło tylko w tym moim zapisie nawet nie wiedziałem jak to ująć.

Janusz Tracz napisał(a):


R= \lim_{k \to  \infty } \sqrt[2^k]{3^{k!}}=1

stąd x\in\left( -1,1\right)

x\in\left[ -1,1\right]


A nie przypadkiem \lim_{k \to \infty } \sqrt[2^k]{3^{k!}}=\lim_{k \to \infty } 3^{ \frac{k!}{2^{k}} } = \infty?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2018, o 22:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1142
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
A nie przypadkiem \lim_{k \to \infty } \sqrt[2^k]{3^{k!}}=\lim_{k \to \infty } 3^{ \frac{k!}{2^{k}} } = \infty?

Oczywiście masz rację. Przepraszam przekręciłem potęgi i wyszło na odwrót.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 sty 2018, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: Rzeszów
Ok dzięki za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Promień zbieżności szeregu potęgowego. - zadanie 3  Nelson20  12
 Promień zbieżności szeregu potęgowego.  lanrof  1
 Promień zbieżności szeregu potęgowego. - zadanie 2  okon  6
 Promień zbieżności szeregu potęgowego. - zadanie 4  dawid.barracuda  2
 zbadaj obszar zbieżności szeregu  szczylu  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl